Frequentistische statistik

What Is Frequentistische Statistik?

Frequentistische Statistik (Frequentist statistics) ist ein fundamentaler Ansatz innerhalb der Statistik, der die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses als die relative Häufigkeit definiert, mit der es bei einer unendlichen Anzahl von Wiederholungen eines Experiments auftritt. Dieser Ansatz, auch als frequentistische Inferenz bekannt, konzentriert sich darauf, wie wahrscheinlich es ist, die beobachteten Daten (oder extremere Daten) zu erhalten, wenn eine bestimmte Hypothese wahr ist. Sie leitet Schlussfolgerungen aus Stichprobendaten ab, indem sie die Häufigkeit oder den Anteil der Ergebnisse in den Daten hervorhebt und dabei davon ausgeht, dass unbekannte Parameter feste, aber unbekannte Werte sind, nicht zufällige Variablen.

Der frequentistische Ansatz bildet die Grundlage für weithin etablierte Methodologien wie Hypothesentests und Konfidenzintervalle. Es ist ein entscheidendes Werkzeug für die Parameterschätzung und das Testen von Annahmen über eine Grundgesamtheit auf der Grundlage einer gezogenen Stichprobe.

History and Origin

Die Grundlagen der frequentistischen Statistik wurden im frühen 20. Jahrhundert maßgeblich von Statistiken wie Ronald Fisher, Jerzy Neyman und Egon Pearson entwickelt. Ronald Fisher trug mit seinem Konzept des Signifikanztests erheblich zur frequentistischen Statistik bei, bei dem die Signifikanz einer Messung im Vergleich zu einer Nullhypothese untersucht wird. Neyman und Pearson erweiterten Fishers Ideen, um sie auf mehrere Hypothesen anzuwenden, was zur Entwicklung des Neyman-Pearson-Lemmas führte, das die Grundlage für Typ-I- und Typ-II-Fehler sowie Konfidenzintervalle bildet. Ihre Arbeiten legten den Grundstein für die modernen Methoden des statistischen Schließens, die sich auf die hypothetische Wiederholung von Experimenten unter identischen Bedingungen konzentrieren, um die langfristigen Eigenschaften von Schätzverfahren zu bewerten.

Key Takeaways

• Definition der Wahrscheinlichkeit: Frequentistische Statistik definiert Wahrscheinlichkeit als die langfristige relative Häufigkeit eines Ereignisses bei wiederholten Versuchen.
• Feste Parameter: Im frequentistischen Rahmen werden unbekannte Populationsparameter als feste, aber unbekannte Werte betrachtet, die geschätzt oder getestet werden.
• Hypothesentests: Ein zentraler Bestandteil ist der P-Wert, der verwendet wird, um die Kompatibilität der beobachteten Daten mit einer spezifizierten statistischen Modell (oft der Nullhypothese) zu bewerten.
• Konfidenzintervalle: Diese Methode liefert einen Wertebereich, innerhalb dessen der wahre Parameter der Grundgesamtheit mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit liegt, wenn das Verfahren wiederholt wird.
• Objektivität: Der frequentistische Ansatz zielt darauf ab, Objektivität zu gewährleisten, indem er sich auf die Daten und die Eigenschaften des statistischen Verfahrens bei hypothetisch unendlichen Wiederholungen konzentriert, anstatt auf subjektive Vorannahmen.

Formula and Calculation

Frequentistische Statistik umfasst keine einzelne übergreifende Formel, sondern basiert auf verschiedenen statistischen Formeln für spezifische Anwendungen wie Hypothesentests und Konfidenzintervalle.

Beispiel für den P-Wert in einem einfachen z-Test:

Zur Berechnung des P-Werts in einem z-Test, der die Abweichung eines Stichprobenmittelwerts vom Populationsmittelwert bei bekannter Populationsstandardabweichung testet, lautet die Formel für den z-Wert:

Dabei gilt:

• (\bar{x}) = Stichprobenmittelwert
• (\mu_0) = Hypothetischer Populationsmittelwert unter der Nullhypothese
• (\sigma) = Populationsstandardabweichung (oder geschätzter Standardfehler bei unbekannter Populationsstandardabweichung)
• (n) = Stichprobengröße

Nach der Berechnung des z-Wertes wird der P-Wert aus der Standardnormalverteilungstabelle abgeleitet. Er ist die Wahrscheinlichkeit, einen z-Wert zu beobachten, der so extrem oder extremer ist als der berechnete z-Wert, unter der Annahme, dass die Nullhypothese wahr ist.

Interpreting die Frequentistische Statistik

Die Interpretation der frequentistischen Statistik dreht sich um die langfristigen Eigenschaften von Methoden, wenn sie wiederholt angewendet werden. Bei einem Hypothesentest bedeutet ein kleiner P-Wert (typischerweise unter 0,05), dass die beobachteten Daten unter der Annahme der Nullhypothese unwahrscheinlich sind. Dies führt oft zur Ablehnung der Nullhypothese zugunsten der Alternativhypothese. Es ist wichtig zu verstehen, dass der P-Wert nicht die Wahrscheinlichkeit angibt, dass die getestete Hypothese wahr ist oder dass die Daten durch reinen Zufall entstanden sind. Stattdessen misst er die Ink⁶ompatibilität der Daten mit dem spezifizierten statistischen Modell.

Ein 95%-Konfidenzintervall bedeutet, dass, wenn das gleiche Stichprobenverfahren wiederholt angewendet würde, 95% der so konstruierten Intervalle den wahren, unbekannten Populationsparameter enthalten würden. Es bedeutet nicht, dass der wahre Parameter mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% innerhalb des spezifischen, berechneten Intervalls liegt.

Frequentistische Inferenz basiert auf der Idee der "long-run frequency", d.h. wie oft eine bestimmte Schlussfolgerung richtig wäre, wenn man den Prozess unendlich oft wiederholen würde. Dies beeinflusst das Verständnis von Konzepten wie [Fehler 1. Art](https://diversification.com/term/Fehler 1. Art) (Ablehnung einer wahren Nullhypothese) und [Fehler 2. Art](https://diversification.com/term/Fehler 2. Art) (Nicht-Ablehnung einer falschen Nullhypothese), die als langfristige Fehlerraten kontrolliert werden.

Hypothetical Example

Stellen Sie sich vor, ein Vermögensverwalter möchte testen, ob eine neue Handelsstrategie eine durchschnittliche monatliche Rendite von mehr als 0,5% erzielt. Die Nullhypothese ((H_0)) ist, dass die Strategie eine monatliche Rendite von 0,5% oder weniger erzielt, während die Alternativhypothese ((H_1)) ist, dass sie mehr als 0,5% erzielt.

Der Vermögensverwalter wendet die Strategie für 36 Monate an (Stichprobengröße (n = 36)) und stellt fest, dass die durchschnittliche monatliche Rendite ((\bar{x})) 0,7% beträgt, mit einer Stichprobenstandardabweichung ((s)) von 0,6%. Da die Populationsstandardabweichung unbekannt ist und die Stichprobengröße relativ klein ist, würde man typischerweise einen t-Test anwenden.

1. Formulierung der Hypothesen:

   • (H_0: \mu \leq 0,5%)
   • (H_1: \mu > 0,5%)

2. Berechnung der Teststatistik (t-Wert):

   $$t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s / \sqrt{n}} = \frac{0,7 - 0,5}{0,6 / \sqrt{36}} = \frac{0,2}{0,6 / 6} = \frac{0,2}{0,1} = 2$$

3. Bestimmung des P-Werts: Der t-Wert von 2 bei 35 Freiheitsgraden (n-1) würde einem P-Wert entsprechen, der durch Nachschlagen in einer t-Verteilungstabelle oder Software ermittelt wird. Angenommen, der P-Wert beträgt 0,028.

4. Entscheidung: Wenn der vorher festgelegte Signifikanzniveau (Alpha) 0,05 beträgt, da der P-Wert (0,028) kleiner als 0,05 ist, würde der Vermögensverwalter die Nullhypothese ablehnen.

Dies würde bedeuten, dass es auf der Grundlage der 36 Monate ausreichende [statistische Signifikanz](https://diversification.com/term/Statistische Signifikanz) gibt, um zu dem Schluss zu kommen, dass die neue Strategie wahrscheinlich eine durchschnittliche monatliche Rendite von mehr als 0,5% erzielt. Die Schlussfolgerung beruht auf der Wahrscheinlichkeit, die beobachteten Daten zu sehen, wenn die Strategie tatsächlich keine Verbesserung gegenüber 0,5% hätte.

Practical Applications

Frequentistische Statistik findet breite Anwendung in vielen Bereichen, insbesondere in der Finanzwelt, der Wirtschaft und der Wissenschaft:

• Quantitative Finanzanalyse: Analysten verwenden frequentistische Methoden, um die Performance von Portfolios zu bewerten, die Volatilität zu messen und das Risiko zu steuern. Zum Beispiel werden Regressionsanalysen verwendet, um die Beziehung zwischen verschiedenen Finanzvariablen zu modellieren.
• Wirtschaftsprognosen: Zentralbanken und Wirtschaftsforschungsinstitute nutzen frequentistische statistische Modelle, um Wirtschaftsindikatoren wie Inflation, BIP-Wachstum und Arbeitslosenquoten zu prognostizieren. Die Federal Reserve Board, beispielsweise, beschäftigt zahlreiche Forscher, die umfangreiche ökonometrische und statistische Analysen für die Geld-, Regulierungs- und Aufsichtspolitik durchführen.
• Marktanalyse: Für das Testen von Hypothesen über Ma⁵rkteffizienz, die Wirksamkeit neuer Finanzprodukte oder das Verhalten von Aktienkursen werden frequentistische Ansätze angewendet.
• Risikomanagement: Finanzinstitute verwenden statistische Tests, um Kreditrisikomodelle zu validieren oder die Wahrscheinlichkeit von Zahlungsausfällen abzuschätzen.
• Wissenschaftliche Forschung: In der medizinischen Forschung, Psychologie und anderen Wissenschaften ist die frequentistische Statistik die dominierende Methode für die Analyse von Experimenten und Umfragen, da sie einen standardisierten Rahmen für die Bewertung von Beweisen bietet.

Limitations and Criticisms

Obwohl die frequentistische Statistik weit verbreitet ist, unterliegt sie mehreren Einschränkungen und Kritikpunkten:

• P-Wert-Fehlinterpretation: Eine der größten Herausforderungen ist die Fehlinterpretation des P-Werts. Ein signifikanter P-Wert bedeutet nicht, dass die Nullhypothese falsch oder die Alternativhypothese wahr ist, noch dass der Effekt bedeutsam ist. Es bedeutet lediglich, dass die beobachteten Daten unter der Annahme der Nullhypothese unwahrscheinlich wären. Die American Statistical Association (ASA) hat 2016 eine Stellungnahme veröffentlicht, um die weit verbreiteten Fehlinterpretationen von P-Werten zu korrigieren und eine bessere statistische Praxis zu fördern.
• Dichotomie der Ergebnisse: Die frequentistische Inferenz führt o⁴ft zu binären Entscheidungen ("ablehnen" oder "nicht ablehnen" der Nullhypothese), die möglicherweise nicht die volle Komplexität der Evidenz widerspiegeln.
• Keine Quantifizierung der Evidenz für Hypothesen: Frequentistische Methoden können nicht direkt angeben, wie wahrscheinlich eine Hypothese angesichts der beobachteten Daten ist. Stattdessen konzentrieren sie sich auf die Wahrscheinlichkeit der Daten unter der Hypothese. Dies steht im Gegensatz zu anderen statistischen Paradigmen, die Evidenz für o³der gegen eine Hypothese quantifizieren können.
• Abhängigkeit vom Stichprobenplan: Die Gültigkeit frequentistischer Schlussfolgerungen hängt stark vom Stichprobenplan und den Absichten des Forschers ab, selbst wenn die Daten identisch sind. Das sogenannte "Stopp-Regel-Problem" ist ein Beispiel dafür, wo die Schlussfolgerung davon abhängen kann, wann die Datenerfassung beendet wurde, selbst wenn die gleichen Daten vorliegen.
• Subjektivität bei Designentscheidungen: Obwohl die frequentistische Statistik Objektivität anstrebt, erfordert sie subjektive Entscheidungen bei der Wahl des Signifikanzniveaus ((\alpha)), der Stichprobengröße und des spezifischen statistischen Tests.

Frequentistische Statistik vs. Bayesianische Statistik

Der Hauptunterschied zwischen frequentistischer und Bayesianischer Statistik liegt in ihrer Definition und Interpretation von Wahrscheinlichkeit und im Umgang mit unbekannten Parametern.

Während die frequentistische Inferenz die Wahrscheinlichkeit des Auftretens von Daten bei einem Modell bewertet, ermöglicht die bayesianische Inferenz die direkte Zuweisung von Wahrscheinlichkeiten zu Hypothesen. Trotz ihrer philosophischen Unterschiede argumentieren einige Statistiker, dass sich die beiden A²nsätze in der Praxis oft überschneiden oder komplementär sind, da gute Schlussfolgerungen in beiden Paradigmen eine sorgfältige Modellierung der Daten und des zugrunde liegenden Prozesses erfordern.

FAQs

Was ist der Hauptunterschied zwischen frequentistischer und Bayesianischer Statistik?

D¹er Hauptunterschied liegt in der Interpretation der Wahrscheinlichkeit und des Umgangs mit unbekannten Parametern. Frequentistische Statistik betrachtet Wahrscheinlichkeit als langfristige Häufigkeit und Parameter als fest, während Bayesianische Statistik Wahrscheinlichkeit als Glaubensgrad interpretiert und Parametern Wahrscheinlichkeitsverteilungen zuweist.

Kann die frequentistische Statistik beweisen, dass eine Hypothese wahr ist?

Nein, die frequentistische Statistik kann keine Hypothese als wahr beweisen. Sie kann lediglich quantifizieren, wie wahrscheinlich die beobachteten Daten sind, wenn eine bestimmte Hypothese (die Nullhypothese) wahr ist. Ein kleines P-Wert bedeutet, dass die Daten unter dieser Annahme unwahrscheinlich sind, was zur Ablehnung der Nullhypothese führt. Es bedeutet jedoch nicht, dass die Alternativhypothese wahr ist oder dass die Wirkung groß ist.

Was ist ein Konfidenzintervall in der frequentistischen Statistik?

Ein Konfidenzintervall ist ein Bereich von Werten, der mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit (z.B. 95%) den wahren, unbekannten Populationsparameter enthält, wenn das Verfahren der Intervallbildung unendlich oft wiederholt würde. Es bedeutet nicht, dass der wahre Parameter mit der angegebenen Wahrscheinlichkeit in diesem spezifischen Intervall liegt.

Warum ist die frequentistische Statistik in der Forschung so verbreitet?

Die frequentistische Statistik ist historisch bedingt und weit verbreitet, da sie einen klaren, objektiven Rahmen für Hypothesentests und die Kontrolle von Fehlerraten in langfristigen Wiederholungen bietet. Sie ist besonders nützlich in Situationen, in denen die Definition der Wahrscheinlichkeit als Häufigkeit gut zu den Forschungsfragen passt, beispielsweise in kontrollierten Experimenten.

Gibt es Alternativen zur frequentistischen Statistik?

Ja, die bekannteste Alternative ist die Bayesianische Statistik, die einen anderen philosophischen Ansatz zur Wahrscheinlichkeit und Inferenz verfolgt. Andere Ansätze umfassen Robust-Statistik und nicht-parametrische Methoden, die weniger Annahmen über die Verteilung der Daten treffen.