Meervoudige regressie

Wat Is Meervoudige regressie?

Meervoudige regressie is een statistische techniek die wordt gebruikt om de relatie tussen een enkele afhankelijke variabele en twee of meer onafhankelijke variabelen te modelleren. Deze methode valt onder de bredere categorie van financiële modellering en is essentieel voor het begrijpen van complexe verbanden in gegevens. Waar enkelvoudige regressie slechts één onafhankelijke variabele gebruikt om een afhankelijke variabele te verklaren of te voorspellen, stelt meervoudige regressie analisten in staat om de gecombineerde invloed van meerdere factoren te onderzoeken. Het doel is om een vergelijking op te stellen die de variatie in de afhankelijke variabele zo goed mogelijk verklaart op basis van de veranderingen in de onafhankelijke variabelen. Meervoudige regressie is een krachtig hulpmiddel in diverse vakgebieden, waaronder econometrie, sociologie en de natuurwetenschappen.

#²⁰, ²¹# Geschiedenis en Oorsprong

Het concept van regressieanalyse vindt zijn oorsprong in het werk van de negentiende-eeuwse Britse statisticus Sir Francis Galton. Galton gebruikte de term "regressie" voor het eerst in 1886 om een biologisch fenomeen te beschrijven: de "regressie naar het gemiddelde" in de hoogtes van opeenvolgende generaties. Hij merkte op dat de kinderen van uitzonderlijk lange of korte ouders de neiging hadden om een lengte te hebben die dichter bij het gemiddelde lag.

D¹⁸, ¹⁹e formele wiskundige grondslagen van regressieanalyse, inclusief de uitbreiding naar meerdere variabelen, werden verder ontwikkeld door Galtons vriend en collega Karl Pearson in de vroege 20e eeuw. De methode van de kleinste kwadraten, cruciaal voor het schatten van de parameters in regressiemodellen, werd onafhankelijk ontwikkeld door Adrien-Marie Legendre in 1806 en Carl Friedrich Gauss. Deze ontwikkelingen maakten het mogelijk om meer complexe relaties tussen variabelen te modelleren dan alleen een enkelvoudig verband.

Key Takeaways

Meervoudige regressie modelleert de relatie tussen één afhankelijke variabele en twee of meer onafhankelijke variabelen.
Het doel is om te begrijpen hoe veranderingen in onafhankelijke variabelen de afhankelijke variabele beïnvloeden en om toekomstige waarden te voorspellen.
De techniek schat de regressiecoëfficiënten die de sterkte en richting van de relatie tussen elke onafhankelijke variabele en de afhankelijke variabele aangeven.
Assumpties over de gegevens en de relatie tussen variabelen zijn cruciaal voor de geldigheid van een meervoudige regressiemodel.
Meervoudige regressie vindt brede toepassing in finance, economie, wetenschap en sociale wetenschappen voor analyse, voorspelling en risicobeheer.

Formula and Calculation

De algemene formule voor een lineaire meervoudige regressie is als volgt:

Y = \beta_0 + \beta_1X_1 + \beta_2X_2 + \dots + \beta_pX_p + \epsilon

Waarin:

(Y) = De afhankelijke variabele die we proberen te voorspellen of te verklaren.
(\beta_0) = De intercept (het snijpunt met de Y-as), wat de verwachte waarde van (Y) is wanneer alle onafhankelijke variabelen nul zijn.
(\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_p) = De regressiecoëfficiënten, die de gemiddelde verandering in (Y) voorstellen voor elke eenheidstoename in de corresponderende onafhankelijke variabele, terwijl alle andere onafhankelijke variabelen constant worden gehouden.
(X_1, X_2, \dots, X_p) = De onafhankelijke variabelen (ook wel voorspellers of verklarende variabelen genoemd).
(\epsilon) = De foutterm of residu, die de onverklaarde variatie in (Y) vertegenwoordigt en de invloed van factoren die niet in het model zijn opgenomen.

De [regr¹⁷essiecoëfficiënten](https://diversification.com/term/regressiecoefficient) worden typisch geschat met behulp van de kleinste-kwadratenmethode (Ordinary Least Squares - OLS), die tot doel heeft de som van de gekwadrateerde residuen te minimaliseren.

Interpreteren van Meervoudige regressie

Het interpreteren van een meervoudige regressiemodel omvat het analyseren van de geschatte regressiecoëfficiënten, de statistische significantie van het model en de mate waarin het model de variantie in de afhankelijke variabele verklaart. Elke coëfficiënt ((\beta)) geeft aan hoeveel de afhankelijke variabele naar verwachting zal veranderen voor elke eenheidstoename in de bijbehorende onafhankelijke variabele, ervan uitgaande dat alle andere onafhankelijke variabelen constant blijven. Een positieve coëfficiënt duidt op een directe relatie, terwijl een negatieve coëfficiënt op een inverse relatie wijst.

Naast de individuele coëfficiënten, worden de R-kwadraat ((R^2)) en de aangepaste R-kwadraat waarden geëvalueerd. De (R^2) geeft het percentage van de variatie in de afhankelijke variabele aan dat door het model wordt verklaard. Een hogere (R^2) duidt op een betere pasvorm van het model bij de gegevens, hoewel een hoge (R^2) op zichzelf geen garantie is voor een goed model, vooral niet bij te veel onafhankelijke variabelen. De aangepaste (R^2) corrigeert hiervoor en is nuttiger bij het vergelijken van modellen met verschillende aantallen voorspellers. Bovendien wordt de F-s¹⁶tatistiek gebruikt voor hypothesetesten om te bepalen of het algehele regressiemodel statistisch significant is.

Hypothetisch Voorb¹⁵eeld

Stel, een vermogensbeheerder wil het rendement van een beleggingsportefeuille ((Y)) voorspellen op basis van verschillende factoren. De factoren die worden overwogen zijn: de jaarlijkse groei van het bruto binnenlands product (BBP-groei in %), de inflatie (in %) en de rentestand (in %). De beheerder verzamelt gegevens over deze variabelen over de afgelopen 20 jaar en past een meervoudige regressie toe.

Het hypothetische regressiemodel zou er als volgt uit kunnen zien:

\text{PortefeuilleRendement} = 0.02 + 0.005 \times \text{BBP-groei} - 0.002 \times \text{Inflatie} - 0.001 \times \text{Rentestand} + \epsilon

Stap 1: Gegevensverzameling. De beheerder verzamelt historische gegevens voor PortefeuilleRendement, BBP-groei, Inflatie en Rentestand.
Stap 2: Modelbouw. Met statistische software wordt het meervoudige regressiemodel geschat, wat resulteert in de bovenstaande coëfficiënten.
Stap 3: Interpretatie.
- De intercept van 0.02 (of 2%) suggereert het basisrendement wanneer alle andere factoren nul zijn.
- De coëfficiënt voor BBP-groei (0.005) betekent dat voor elke procentpunt stijging in de BBP-groei, het portefeuille rendement naar verwachting met 0.5% stijgt, ceteris paribus. Dit duidt op een correlatie tussen economische groei en portefeuilleprestaties.
- De coëfficiënt voor Inflatie (-0.002) impliceert dat een toename van de inflatie met één procentpunt een daling van het rendement met 0.2% kan betekenen.
- De coëfficiënt voor Rentestand (-0.001) suggereert dat hogere rentestanden het rendement enigszins kunnen drukken.
Stap 4: Voorspelling. Als de beheerder voor volgend jaar een BBP-groei van 3%, een inflatie van 2% en een rentestand van 1% verwacht, kan het verwachte portefeuille rendement worden voorspeld:
(0.02 + (0.005 \times 3) - (0.002 \times 2) - (0.001 \times 1) = 0.02 + 0.015 - 0.004 - 0.001 = 0.03 \text{ of } 3%).

Dit voorbeeld illustreert hoe meervoudige regressie wordt gebruikt om de invloed van meerdere datapunten op een uitkomst te kwantificeren en te voorspellen.

Praktische Toepassingen

Meervoudige regressie wordt veelvuldig toegepast in financiën en daarbuiten, waaronder:

Beleggingsanalyse: Het voorspellen van aandeelprijzen of portefeuillerendementen op basis van macro-economische indicatoren, bedrijfsresultaten en marktsentiment. Analisten kunnen bijvoorbeeld de Alpha en Beta van een belegging schatten met behulp van regressie, wat cruciaal is in modellen zoals het Capital Asset Pricing Model (CAPM). Het CAPM, waarvoor William F. Sharpe in 1990 de Nobelprijs in de Economische Wetenschappen ontving, is gebaseerd op regressieanalyse om de verwachte rendementen van activa te bepalen.
Economische Voorspelling:¹⁴ Centrale banken en financiële instellingen gebruiken meervoudige regressie om belangrijke economische variabelen zoals inflatie, BBP-groei en rentestanden te voorspellen. De Federal Reserve Bank van San Francisco heeft bijvoorbeeld methoden onderzocht die regressie gebruiken voor het voorspellen van inflatie.
Vastgoedwaardering: Het sc¹³hatten van de waarde van onroerend goed op basis van kenmerken zoals grootte, locatie, aantal kamers en recente verkoopprijzen van vergelijkbare panden.
Risicobeheer: Het kwantificeren van verschillende soorten risico's in financiële markten, zoals kredietrisico of operationeel risico, door de relatie tussen risicofactoren en uitkomsten te modelleren. De Federal Reserve gebruikt regressiemodellen om de gevoeligheid van verschillende balansen en winst- en verliesrekeningen voor veranderingen in het macro-economische klimaat te schatten.
Marketing en Verkoop: Het a¹²nalyseren van de impact van marketinguitgaven, promoties en demografische factoren op verkoopcijfers of klantgedrag.
Kredietscoring: Het ontwikkelen van modellen om de kredietwaardigheid van individuen of bedrijven te beoordelen op basis van financiële geschiedenis, inkomen en andere relevante variabelen.

Deze toepassingen tonen de veelzijdigheid van meervoudige regressie als een instrument voor data-analyse en besluitvorming in de financiële sector en daarbuiten.

Limitations and Criticisms

Hoewe¹¹l meervoudige regressie een robuust en breed toegepast statistisch instrument is, kent het bepaalde beperkingen en kritiekpunten die de validiteit en betrouwbaarheid van de resultaten kunnen beïnvloeden.

Een fundamentele aanname van lineaire regressie is dat er een lineair verband bestaat tussen de afhankelijke variabele en de onafhankelijke variabelen. Als de werkelijke relatie niet-lineair is, kan een lineair model een misleidende of onnauwkeurige voorspelling opleveren. Een andere belangrijke overweging is multicollineariteit, een fenomeen waarbij twee of meer onafhankelijke variabelen in het model sterk met elkaar correleren. Dit kan leiden tot onstabiele en moeilijk interpreteerbare coëfficiëntenschattingen, hoewel het de voorspellende kracht van het model als geheel niet noodzakelijk vermindert.

Daarnaast zijn er verschillende statist⁹, ¹⁰ische assumpties die moeten worden voldaan voor de kleinste-kwadratenmethode om betrouwbare en efficiënte schattingen te produceren, zoals:

Normaliteit van residuen: De fouttermen ((\epsilon)) moeten normaal verdeeld zijn.
Homoscedasticiteit: De variantie van de residuen moet constant zijn over alle niveaus van de onafhankelijke variabelen.
Onafhankelijkheid van residuen: De residuen moeten niet met elkaar gecorreleerd zijn, wat vooral relevant is bij tijdreeksgegevens (autocorrelatie).
Geen uitschieters of invloedrijke punten: Extreme waarden in de gegevens kunnen de regressielijn aanzienlijk vertekenen.

Het schenden van deze assumpties kan leiden tot bevooroordeelde schattingen van de coëfficiënten, onjuiste standaardfouten en daardoor onbetrouwbare statistische significantie toetsen. Analisten moeten daarom altijd diagnostisch⁷, ⁸e tests uitvoeren om te controleren of aan deze assumpties is voldaan en passende maatregelen nemen, zoals datatransformaties of het gebruik van robuustere regressiemethoden, indien nodig. Overfitting, waarbij een model te complex w⁵, ⁶ordt voor de beschikbare gegevens en daardoor goed presteert op de trainingsdata maar slecht op nieuwe data, is ook een veelvoorkomende valkuil.

Meervoudige regressie vs. Enkelvoudige ⁴regressie

Het fundamentele verschil tussen meervoudige regressie en enkelvoudige regressie ligt in het aantal onafhankelijke variabelen dat wordt gebruikt om de afhankelijke variabele te verklaren of te voorspellen.

Kenmerk	Enkelvoudige regressie	Meervoudige regressie
Aantal onafhankelijke variabelen	Eén	Twee of meer
Doel	De relatie tussen twee variabelen modelleren.	De relatie tussen één afhankelijke variabele en meerdere onafhankelijke variabelen modelleren.
Vergelijking	(Y = \beta_0 + \beta_1X_1 + \epsilon)	(Y = \beta_0 + \beta_1X_1 + \beta_2X_2 + \dots + \beta_pX_p + \epsilon)
Complexiteit	Minder complex, eenvoudiger te visualiseren (een lijn).	Complexer, kan multi-dimensionale relaties (een hypervlak) modelleren.
Toepassing	Basisvoorspellingen, inzicht in enkelvoudige relaties.	Complexe analyses, gelijktijdige invloed van meerdere factoren.

Enkelvoudige regressie is een goed startpunt voor het begrijpen van de basisprincipes van regressieanalyse en voor het analyseren van directe, bivariate relaties. Echter, in de praktijk worden de meeste verschijnselen beïnvloed door meerdere factoren tegelijk. Meervoudige regressie biedt de mogelijkheid om een completer en realistischer beeld te krijgen van deze complexe interacties door de gecombineerde en individuele effecten van meerdere onafhankelijke variabelen op de afhankelijke variabele te isoleren en te kwantificeren. Dit maakt meervoudige regressie vaak geschikter voor diepgaandere analyses en nauwkeurigere voorspellingen in diverse vakgebieden, waaronder financiële modellering.

FAQs

1. Wat is het verschil tussen corr², ³elatie en meervoudige regressie?

Correlatie meet de sterkte en richting van de lineaire relatie tussen twee variabelen. Het geeft aan hoe variabelen samen bewegen, maar impliceert geen oorzaak-gevolgrelatie. Meervoudige regressie daarentegen probeert de aard van de relatie te kwantificeren, waarbij één variabele (afhankelijke) wordt verklaard of voorspeld op basis van de waarden van andere variabelen (onafhankelijke), en kan helpen bij het identificeren van potentiële causale verbanden.

2. Wanneer zou ik meervoudige regressie moeten gebruiken in plaats van enkelvoudige regressie?

U moet meervoudige regressie gebruiken wanneer u denkt dat de variatie in uw afhankelijke variabele wordt beïnvloed door twee of meer onafhankelijke variabelen. Als u bijvoorbeeld de huizenprijzen wilt voorspellen, is het waarschijnlijk dat niet alleen de grootte van het huis, maar ook het aantal slaapkamers, de locatie en de leeftijd van het huis een rol spelen. Meervoudige regressie kan al deze factoren gelijktijdig meenemen in de modellering.

3. Wat betekent "R-kwadraat" in meervoudige regressie?

De R-kwadraat, of determinatiecoëfficiënt, is een statistiek die aangeeft welk percentage van de variantie in de afhankelijke variabele wordt verklaard door de onafhankelijke variabelen in het regressiemodel. Een R-kwadraat van 0.75 betekent bijvoorbeeld dat 75% van de variatie in de afhankelijke variabele kan worden toegeschreven aan de onafhankelijke variabelen in het model. Hoe hoger de R-kwadraat, hoe beter het model de waargenomen data lijkt te passen, hoewel het belangrijk is om ook naar de aangepaste R-kwadraat te kijken om overfitting te vermijden.

4. Wat zijn de belangrijkste assumpties van meerv¹oudige regressie?

De belangrijkste assumpties voor een valide meervoudige lineaire regressieanalyse omvatten: lineariteit van de relatie tussen variabelen, onafhankelijkheid van de residuen, homoscedasticiteit (constante variantie van residuen), normaliteit van de residuen, en geen of minimale multicollineariteit (sterke correlatie tussen onafhankelijke variabelen). Het niet voldoen aan deze assumpties kan de betrouwbaarheid van de resultaten beïnvloeden.