Perzentile

Perzentile: Definition, Formel, Beispiel und häufig gestellte Fragen

Eine Perzentile ist ein statistisches Maß, das den Wert angibt, unterhalb dessen ein bestimmter Prozentsatz der Beobachtungen in einem Datensatz fällt. Sie gehören zur statistischen Analyse und sind grundlegend für die Datenanalyse in verschiedenen Bereichen, einschließlich der quantitativen Finanzwirtschaft. Perzentile helfen dabei, die Verteilung von Daten zu verstehen und die relative Position eines einzelnen Datenpunkts innerhalb dieser Verteilung zu bestimmen. Beispielsweise bedeutet die 90. Perzentile, dass 90 % der Datenpunkte im Datensatz unter diesem Wert liegen und 10 % darüber.

Geschichte und Ursprung

Das Konzept der Perzentile entwickelte sich aus der Notwendigkeit, große Datensätze zu ordnen und zu interpretieren. Während die genaue "Erfindung" des Begriffs nicht einer einzelnen Person zugeschrieben werden kann, leistete der englische Statistiker und Biometriker Francis Galton im späten 19. Jahrhundert Pionierarbeit bei der Verwendung von Quantilen und der Analyse von Datenverteilungen, was die Grundlage für das moderne Verständnis von Perzentilen legte. Die breite Akzeptanz und Anwendung von Perzentilen erfolgte mit dem Wachstum der empirischen Forschung und der Notwendigkeit, Bevölkerungsdaten und andere große Datensätze zu vergleichen und zu analysieren. Zum Beispiel verwendet die Internal Revenue Service (IRS) in den Vereinigten Staaten seit langem Perzentile, um die Einkommensverteilung zu analysieren und zu veröffentlichen.

Wichtige Er⁴kenntnisse

• Perzentile teilen einen Datensatz in 100 gleiche Teile, wobei jede Perzentile einen bestimmten Prozentsatz der Daten unter einem bestimmten Wert repräsentiert.
• Sie geben die relative Position oder den Rang eines Wertes innerhalb einer Datenverteilung an.
• Perzentile finden Anwendung in einer Vielzahl von Feldern, darunter Finanzwesen, Wirtschaft, Bildung und Biometrie.
• Sie sind nützlich, um Ausreißer zu identifizieren und die Form der Datenverteilung zu bewerten.

Formel und Berechnung

Die Berechnung einer Perzentile erfordert zunächst das Sortieren des Datensatzes in aufsteigender Reihenfolge. Es gibt verschiedene Methoden zur Berechnung, aber eine gängige Methode zur Bestimmung des k-ten Perzentils (P_k) für einen Datensatz mit (n) Beobachtungen ist die folgende:

1. Daten sortieren: Ordnen Sie alle Datenpunkte von der kleinsten zur größten.

2. Rang bestimmen: Berechnen Sie den Rang (Position) des k-ten Perzentils mit der Formel:

   $$R = \frac{k}{100} \times (n - 1) + 1$$

   Dabei ist:

   • (R) der Rang des Perzentils im sortierten Datensatz.
   • (k) der gewünschte Perzentilwert (z.B. 75 für das 75. Perzentil).
   • (n) die Gesamtzahl der Datenpunkte im Datensatz.

3. Perzentilwert ermitteln:

   • Wenn (R) eine ganze Zahl ist, ist das k-te Perzentil der Datenpunkt an der Position (R) im sortierten Datensatz.
   • Wenn (R) keine ganze Zahl ist, wird der Wert durch Interpolation zwischen den beiden benachbarten Datenpunkten bestimmt. Sei (I) der ganzzahlige Teil von (R) und (F) der Bruchanteil. Das k-te Perzentil ist dann: $$P_k = X_I + F \times (X_{I+1} - X_I)$$ Dabei ist:
     • (X_I) der Wert am Rang (I).
     • (X_{I+1}) der Wert am Rang (I+1).

Ein Spezialfall ist der Median, der das 50. Perzentil darstellt.

Interpretation der Perzentile

Die Interpretation einer Perzentile ist relativ geradlinig: Ein Wert, der sich beispielsweise in der 80. Perzentile befindet, bedeutet, dass 80 % der beobachteten Werte im Datensatz unter diesem Wert liegen und 20 % darüber. In der Finanzwirtschaft können Perzentile zur Leistungsbewertung von Anlageinstrumenten oder Managern herangezogen werden. Wenn ein Fonds beispielsweise im 75. Perzentil seiner Vergleichsgruppe liegt, bedeutet dies, dass er besser abgeschnitten hat als 75 % der Fonds in dieser Gruppe.

Hypothetisches Beispiel

Angenommen, Sie analysieren die monatlichen Renditen von 10 verschiedenen Investmentportfolios über ein Jahr, um das 90. Perzentil zu bestimmen.

Die Renditen (in Prozent) sind:
3, 5, 2, 8, 4, 1, 6, 7, 9, 0

1. Sortieren Sie den Datensatz in aufsteigender Reihenfolge:
   0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

2. Bestimmen Sie (n): Die Anzahl der Datenpunkte beträgt (n = 10).

3. Berechnen Sie den Rang (R) für das 90. Perzentil ((k = 90)):

   $$R = \frac{90}{100} \times (10 - 1) + 1 = 0.9 \times 9 + 1 = 8.1 + 1 = 9.1$$

4. Ermitteln Sie den Perzentilwert: Da (R = 9.1) keine ganze Zahl ist, interpolieren wir.

   • (I = 9) (ganzzahliger Teil)
   • (F = 0.1) (Bruchanteil)
   • Der Wert am 9. Rang (X_9) ist 8.
   • Der Wert am 10. Rang (X_{10}) ist 9.

   Das 90. Perzentil ist:

   $$P_{90} = X_9 + 0.1 \times (X_{10} - X_9) = 8 + 0.1 \times (9 - 8) = 8 + 0.1 \times 1 = 8.1$$

   Das 90. Perzentil der monatlichen Renditen beträgt 8,1 %. Dies bedeutet, dass 90 % der Portfolios eine Rendite von 8,1 % oder weniger erzielt haben.

Praktische Anwendungen

Perzentile sind in vielen Finanz- und Wirtschaftsbereichen unverzichtbar:

• Leistungsbewertung von Fonds: Fondsmanager und Analysten verwenden Perzentile, um die Leistungsbewertung eines Investmentfonds im Vergleich zu seiner Peergroup zu beurteilen. Eine niedrige Perzentile (z.B. 10. Perzentile) für Renditen ist wünschenswert, da sie anzeigt, dass der Fonds besser abgeschnitten hat als die meisten seiner Konkurrenten. Morningstar, Inc. verwendet Perzentil-Rankings, um Fonds innerhalb ihrer Kategorien zu bewerten.
• Risikomanagement: Im [Risi³komanagement](https://diversification.com/term/risk-management) können Perzentile zur Berechnung von Kennzahlen wie dem Value at Risk (VaR) verwendet werden, der den maximalen potenziellen Verlust eines Portfolios über einen bestimmten Zeitraum und mit einer bestimmten Konfidenzstufe angibt.
• Wirtschaftsindikatoren: Wirtschaftsindikatoren wie Einkommens- und Vermögensverteilung werden häufig in Perzentilen dargestellt, um Ungleichheiten aufzuzeigen. Die Federal Reserve veröffentlicht regelmäßig Daten zur Verteilung des Haushaltsvermögens in den USA, die auf Perzentilen basieren.
• Asset Allocation: Investoren könne²n Perzentile nutzen, um ihre persönliche Finanzlage im Vergleich zu einer relevanten Referenzgruppe zu beurteilen und ihre Asset Allocation entsprechend anzupassen.

Einschränkungen und Kritik

Obwohl Perzentile ein leistungsfähiges Werkzeug zur Datenanalyse sind, haben sie auch Einschränkungen:

• Mangel an Detailtiefe: Perzentile geben Aufschluss über die relative Position eines Wertes, aber nicht über die absolute Größe der Unterschiede zwischen den Werten. Der Abstand zwischen der 10. und 20. Perzentile kann deutlich anders sein als der Abstand zwischen der 80. und 90. Perzentile, insbesondere bei schiefen Verteilungen.
• Sensibilität gegenüber Stichprobengröße: Bei kleinen Datensätzen kann die Berechnung von Perzentilen weniger aussagekräftig sein, da jede Beobachtung einen größeren Einfluss auf den Rang hat.
• Variierende Berechnungsmethoden: Wie unter "Formel und Berechnung" erwähnt, existieren verschiedene Methoden zur Interpolation von Perzentilen, was zu geringfügigen Unterschieden in den Ergebnissen führen kann. Das National Institute of Standards and Technology (NIST) erörtert diese Variationsmöglichkeiten in seinen statistischen Handbüchern.
• Interpretationsfehler: Eine hohe Perzentile bedeutet nich¹t immer eine absolute Überlegenheit, insbesondere wenn die Vergleichsgruppe oder der Kontext nicht angemessen ist.

Perzentile vs. Quartile

Perzentile und Quartile sind beides Maße der relativen Position in einem Datensatz, unterscheiden sich jedoch im Grad der Granularität:

• Perzentile: Teilen einen sortierten Datensatz in 100 gleiche Teile. Jede Perzentile repräsentiert einen spezifischen Prozentsatz der Daten, der unter einem bestimmten Wert liegt. Es gibt 99 Perzentilpunkte ((P_1, P_2, \dots, P_{99})).
• Quartile: Teilen einen sortierten Datensatz in vier gleiche Teile. Es gibt drei Quartilpunkte, die bestimmten Perzentilen entsprechen:
  • Erstes Quartil (Q1): Entspricht der 25. Perzentile ((P_{25})).
  • Zweites Quartil (Q2): Entspricht der 50. Perzentile ((P_{50})), auch bekannt als Median.
  • Drittes Quartil (Q3): Entspricht der 75. Perzentile ((P_{75})).

Quartile sind im Wesentlichen spezifische Perzentile, die eine grobere Unterteilung der Daten ermöglichen, während Perzentile eine feinere Abstufung bieten.

FAQs

Was ist die 50. Perzentile?
Die 50. Perzentile ist der Wert, unterhalb dessen 50 % der Daten liegen, und oberhalb dessen 50 % der Daten liegen. Sie ist identisch mit dem Median des Datensatzes.

Sind Perzentile dasselbe wie Prozentsätze?
Nein. Ein Prozentsatz ist ein Teil eines Ganzen (z.B. 50 % von 100). Eine Perzentile hingegen ist ein Rangmaß, das die relative Position eines Wertes innerhalb einer Datenverteilung angibt. Wenn Sie beispielsweise im 90. Perzentil einer Gruppe liegen, bedeutet das nicht, dass Sie 90 % der Aufgaben richtig gelöst haben, sondern dass Sie besser abgeschnitten haben als 90 % der Gruppe.

Warum sind Perzentile im Finanzwesen nützlich?
Im Finanzwesen sind Perzentile wichtig für die Leistungsbewertung von Anlagen, das Risikomanagement und das Verständnis von Markt- oder Wirtschaftsdaten. Sie helfen dabei, die relative Stärke oder Schwäche eines Vermögenswerts, eines Fonds oder eines Marktsegments im Vergleich zu seinen Mitbewerbern zu beurteilen.

Kann eine Perzentile negativ sein?
Ja, eine Perzentile kann negativ sein, wenn die zugrunde liegenden Datenpunkte negativ sind. Zum Beispiel können monatliche Renditen von Investmentportfolios negativ sein, und somit können auch die Perzentile dieser Renditen negativ ausfallen.

Wie können Perzentile zur Einschätzung von Anlageprodukten verwendet werden?
Anleger können die Perzentile von Renditen, Kostenquoten oder anderen finanziellen Metriken verwenden, um die Wettbewerbsfähigkeit eines Anlageprodukts innerhalb einer Kategorie zu beurteilen. Eine niedrige Perzentile für Kosten ist beispielsweise wünschenswert, während eine niedrige Perzentile für Renditen auf eine schlechte Wertentwicklung hindeuten würde.