Standaarddeviatie

Standaarddeviatie: Definitie, Formule, Voorbeeld en Veelgestelde Vragen

De standaarddeviatie is een fundamentele maatstaf in de financiële wereld die de mate van spreiding of volatiliteit van een reeks gegevenspunten rond het gemiddelde aangeeft. Binnen het bredere vakgebied van risicomanagement helpt de standaarddeviatie beleggers en analisten te begrijpen hoeveel de rendementen van een belegging historisch gezien hebben afgeweken van het gemiddelde rendement. Een hogere standaarddeviatie duidt op een grotere spreiding van rendementen en daarmee een hoger risico, terwijl een lagere standaarddeviatie een kleinere spreiding en dus minder volatiliteit betekent.

Geschiedenis en Oorsprong

De standaarddeviatie als statistisch concept werd in 1893 geïntroduceerd door Karl Pearson. De toepassing ervan in de financiële theorie kreeg echter pas echt momentum in 1952, toen de Amerikaanse econoom Harry Markowitz zijn baanbrekende artikel "Portfolio Selection" publiceerde. Dit werk legde de basis voor de Moderne Portefeuille Theorie (MPT), waarvoor hij in 1990 de Nobelprijs voor Economische Wetenschappen ontving. Ma¹²rkowitz's theorie stelde voor dat beleggers niet alleen naar het verwachte rendement van individuele beleggingen moeten kijken, maar ook naar het risico ervan, gemeten door standaarddeviatie, en hoe deze activa zich tot elkaar verhouden binnen een portefeuille. Hi⁸, ⁹, ¹⁰, ¹¹j benadrukte het belang van diversificatie om het totale portefeuillerisico te verminderen.

#⁷# Belangrijkste Punten

Standaarddeviatie kwantificeert de volatiliteit of spreiding van rendementen rond het gemiddelde.
Een hogere standaarddeviatie impliceert een hoger risico en grotere prijsschommelingen.
Het is een veelgebruikte risicomaatstaf in portefeuillebeheer en beleggingsstrategie.
De standaarddeviatie is een integraal onderdeel van de Moderne Portefeuille Theorie van Markowitz.

Formule en Berekening

De standaarddeviatie wordt berekend als de vierkantswortel van de variantie. Dit betekent dat het een maatstaf is voor de gemiddelde afwijking van elk gegevenspunt ten opzichte van het gemiddelde van de dataset.

Voor een populatie van gegevenspunten wordt de standaarddeviatie ((\sigma)) berekend met de volgende formule:

\sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N} (x_i - \mu)^2}{N}}

Waarbij:

( \sigma ) = de standaarddeviatie
( x_i ) = elk individueel gegevenspunt in de set
( \mu ) = het gemiddelde van de gegevensset
( N ) = het totale aantal gegevenspunten in de set

Voor een steekproef, wordt de formule licht aangepast (met (n-1) in de noemer in plaats van (N)) om een onbevooroordeelde schatter te verkrijgen:

s = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n-1}}

Waarbij:

( s ) = de steekproefstandaarddeviatie
( x_i ) = elk individueel gegevenspunt in de steekproef
( \bar{x} ) = het steekproefgemiddelde
( n ) = het totale aantal gegevenspunten in de steekproef

De berekening omvat het bepalen van het gemiddelde rendement, het berekenen van de gekwadrateerde afwijking van elk rendement ten opzichte van dat gemiddelde, het sommeren van die gekwadrateerde afwijkingen, delen door het aantal gegevenspunten (of (n-1) voor een steekproef), en tenslotte de vierkantswortel trekken. De resulterende waarde weerspiegelt de typische spreiding van de rendementsverdeling.

De Standaarddeviatie Interpreteren

De interpretatie van de standaarddeviatie is cruciaal voor het beoordelen van beleggingsrisico. Een grotere standaarddeviatie betekent dat de individuele rendementen van een belegging verder uit elkaar liggen en meer afwijken van het gemiddelde rendement. Dit wijst op een hogere volatiliteit en onvoorspelbaarheid. Beleggers die op zoek zijn naar stabiliteit, zullen doorgaans de voorkeur geven aan beleggingen met een lagere standaarddeviatie, terwijl beleggers die bereid zijn meer risico te nemen voor potentieel hogere rendementen, beleggingen met een hogere standaarddeviatie kunnen overwegen. Het is belangrijk om de standaarddeviatie in de context van de beleggingsdoelstellingen en risicotolerantie te plaatsen.

Hypothetisch Voorbeeld

Stel dat een belegger twee denkbeeldige aandelen, A en B, over de afgelopen vijf jaar heeft gevolgd.

Jaarlijkse Rendementen:

Aandeel A: 10%, 12%, 8%, 11%, 9%
Aandeel B: 20%, -5%, 30%, 2%, 18%

Stap 1: Bereken het gemiddelde rendement voor elk aandeel.

Gemiddeld rendement A = ((10+12+8+11+9) / 5 = 50 / 5 = 10%)
Gemiddeld rendement B = ((20-5+30+2+18) / 5 = 65 / 5 = 13%)

Stap 2: Bereken de afwijking van het gemiddelde voor elk jaar en kwadrateer deze.

Aandeel A:
- (10-10)(^2) = 0
- (12-10)(^2) = 4
- (8-10)(^2) = 4
- (11-10)(^2) = 1
- (9-10)(^2) = 1
- Som van gekwadrateerde afwijkingen = 0 + 4 + 4 + 1 + 1 = 10
Aandeel B:
- (20-13)(^2) = 49
- (-5-13)(^2) = 324
- (30-13)(^2) = 289
- (2-13)(^2) = 121
- (18-13)(^2) = 25
- Som van gekwadrateerde afwijkingen = 49 + 324 + 289 + 121 + 25 = 808

Stap 3: Deel door (n-1) (aangezien dit een steekproef is) en trek de vierkantswortel.

Aandeel A: (\sqrt{10 / (5-1)} = \sqrt{10 / 4} = \sqrt{2.5} \approx 1.58%)
Aandeel B: (\sqrt{808 / (5-1)} = \sqrt{808 / 4} = \sqrt{202} \approx 14.21%)

In dit voorbeeld heeft Aandeel A een standaarddeviatie van ongeveer 1.58%, terwijl Aandeel B een standaarddeviatie van ongeveer 14.21% heeft. Dit toont aan dat Aandeel A aanzienlijk stabieler is in zijn rendementen dan Aandeel B. De belegger kan deze informatie gebruiken bij het samenstellen van een gediversificeerde portefeuille die past bij zijn risicotolerantie.

Praktische Toepassingen

De standaarddeviatie is een veelzijdig hulpmiddel met brede toepassingen in de financiële sector:

Portefeuillebeheer: Beleggingsbeheerders gebruiken standaarddeviatie om het risicoprofiel van een portefeuille te beoordelen en aan te passen. Door activa met verschillende standaarddeviaties en correlaties te combineren, kunnen ze streven naar een optimale balans tussen risico en rendement, volgens de principes van diversificatie.
Risicobeoordeling: Financiële instellingen en regelgevende instanties gebruiken standaarddeviatie om het marktrisico van beleggingen en de volatiliteit van markten te monitoren. Dit helpt bij het opzetten van risicolimieten en het waarborgen van de financiële stabiliteit. De Federal Reserve Bank van San Francisco heeft bijvoorbeeld artikelen gepubliceerd over het belang van risicomanagement in financiële instellingen.
⁵, ⁶Performance Analyse: Beleggingsfondsen en individuele beleggingen worden vaak beoordeeld op basis van hun standaarddeviatie om inzicht te geven in hun risico-gecorrigeerde rendement. Een meting als de Sharpe ratio combineert bijvoorbeeld rendement en standaarddeviatie om een gestandaardiseerde maatstaf voor risico-gecorrigeerd rendement te bieden.
Algemeen Beleggingsadvies: Voor individuele beleggers dient de standaarddeviatie als een gids bij het kiezen van beleggingen die passen bij hun persoonlijke risicotolerantie. Websites zoals de Bogleheads Wiki leggen uit hoe risico en rendement (waarbij risico vaak wordt gemeten met standaarddeviatie) samenkomen in beleggingsbeslissingen.

Be⁴perkingen en Kritiekpunten

Hoewel de standaarddeviatie een veelgebruikte maatstaf is voor risico in de financiële wereld, kent deze ook belangrijke beperkingen en is er kritiek op:

Aanname van Normale Verdeling: De standaarddeviatie gaat ervan uit dat rendementen een normale (klokvormige) verdeling volgen. In de realiteit zijn financiële rendementsverdelingen vaak scheef (skewed) of hebben ze zwaardere staarten (kurtosis), wat betekent dat extreme gebeurtenissen (zowel positief als negatief) vaker voorkomen dan een normale verdeling zou suggereren. Dit kan leiden tot een onderschatting van het werkelijke neerwaartse risico.
Gelijke Behandeling van Upside en Downside Volatiliteit: Standaarddeviatie behandelt alle afwijkingen van het gemiddelde gelijk, ongeacht of ze positief (gewenste winsten) of negatief (ongewenste verliezen) zijn. Beleggers zijn echter doorgaans meer bezorgd over neerwaartse volatiliteit. Critici stellen dat maatstaven die zich specifiek richten op neerwaarts risico, zoals sortino ratio of value-at-risk, relevanter kunnen zijn voor risicomanagement.
Hi¹, ², ³storische Gegevens: De standaarddeviatie wordt berekend op basis van historische gegevens, en er is geen garantie dat toekomstige volatiliteit de historische trends zal weerspiegelen. Marktgedrag kan plotseling veranderen.
Niet-lineaire Relaties: In complexe financiële markten kunnen de relaties tussen activa niet altijd lineair zijn, wat de bruikbaarheid van standaarddeviatie, vooral in de context van covariantie en systematisch risico, kan beïnvloeden. Voorbeelden van meer geavanceerde risicomaatstaven omvatten die welke rekening houden met niet-lineaire relaties of afwijkingen van de normale verdeling.

Ondanks deze beperkingen blijft de standaarddeviatie een fundamentele maatstaf en een startpunt voor risicoanalyse vanwege zijn eenvoud en brede acceptatie. Het wordt vaak gebruikt in combinatie met andere risicomaatstaven en modellen om een completer beeld van het risico te krijgen, zoals de bèta die het marktrisico van een activum meet ten opzichte van de algehele markt of de efficiënte grens in MPT die portefeuilles met het hoogste rendement voor een bepaald risiconiveau definieert.

Standaarddeviatie vs. Variantie

Standaarddeviatie en variantie zijn beide statistische maatstaven voor de spreiding van gegevenspunten in een dataset, en ze zijn nauw verwant. Het belangrijkste verschil is dat de standaarddeviatie de vierkantswortel is van de variantie. Dit betekent dat de standaarddeviatie wordt uitgedrukt in dezelfde eenheden als de oorspronkelijke gegevens (bijvoorbeeld procentpunten voor rendementen), wat de interpretatie ervan intuïtiever maakt. Variantie daarentegen, wordt uitgedrukt in gekwadrateerde eenheden, wat de directe interpretatie ervan lastiger maakt. Variantie is echter een cruciale tussenstap in de berekening van de standaarddeviatie en wordt vaak gebruikt in theoretische modellen, zoals bij de berekening van covariantie in portefeuilletheorie, omdat de gekwadrateerde term wiskundig handiger kan zijn voor bepaalde berekeningen. Hoewel de variantie een belangrijke bouwsteen is, biedt de standaarddeviatie een meer praktische en direct bruikbare maatstaf voor de dagelijkse risicoanalyse.

Veelgestelde Vragen

Wat betekent een standaarddeviatie van nul?

Een standaarddeviatie van nul betekent dat alle gegevenspunten in een set precies hetzelfde zijn als het gemiddelde. In financiële termen zou dit betekenen dat een belegging elke keer precies hetzelfde rendement heeft opgeleverd, zonder enige volatiliteit of afwijking van het gemiddelde. Dit komt in de praktijk zelden voor bij beleggingen, behalve bij zeer specifieke, risicovrije activa over zeer korte periodes, zoals een rekening-couranttegoed.

Is een hoge standaarddeviatie altijd slecht?

Niet noodzakelijkerwijs. Een hoge standaarddeviatie duidt op een hogere volatiliteit. Hoewel veel beleggers volatiliteit als risico zien, kan het ook kansen bieden op hogere rendementen. Beleggers met een hoge risicotolerantie en een lange beleggingshorizon kunnen een hogere standaarddeviatie accepteren in de hoop op grotere winsten, vooral als de volatiliteit zowel opwaartse als neerwaartse schommelingen omvat. Het hangt af van de beleggingsstrategie en de risicobereidheid van de belegger.

Hoe kan ik de standaarddeviatie van mijn portefeuille verlagen?

Om de standaarddeviatie van een portefeuille te verlagen, kunt u doorgaans diversificatie toepassen. Dit houdt in dat u belegt in een verscheidenheid aan activa die niet perfect met elkaar correleren. Wanneer het ene activum daalt, kan het andere stijgen of stabiel blijven, waardoor de algehele volatiliteit van de portefeuille wordt afgevlakt. Het toevoegen van activa met een lage covariantie of zelfs negatieve correlatie (zoals obligaties toevoegen aan een aandelenportefeuille) kan helpen de standaarddeviatie te verminderen.

Wordt standaarddeviatie alleen gebruikt voor rendementen?

Hoewel standaarddeviatie veel wordt gebruikt voor het analyseren van beleggingsrendementen en volatiliteit, kan het worden toegepast op elke reeks numerieke gegevens. In de financiële wereld kan het ook worden gebruikt om de spreiding van koersen, volumeschommelingen of andere financiële metingen te analyseren. De basisprincipes van de rendementsverdeling blijven hetzelfde, ongeacht de specifieke gegevensset.