Binomialverteilung

What Is Binomialverteilung?

Die Binomialverteilung ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung, die die Wahrscheinlichkeit angibt, eine bestimmte Anzahl von Erfolgen in einer festen Anzahl unabhängiger Versuche zu erzielen. Jeder dieser Versuche hat nur zwei mögliche Ergebnisse: Erfolg oder Misserfolg. Die Binomialverteilung ist ein grundlegendes Konzept der Wahrscheinlichkeitstheorie und spielt eine wichtige Rolle in der statistischen Analyse in verschiedenen Bereichen, einschließlich des Finanzwesens. Sie gehört zur Kategorie der diskreten Verteilungen, da die Anzahl der Erfolge nur ganzzahlige Werte annehmen kann.

History and Origin

Die Ursprünge der Binomialverteilung lassen sich auf den Schweizer Mathematiker Jakob Bernoulli (auch bekannt als Jacques Bernoulli oder James Bernoulli) zurückführen. Er analysierte diese Art von Zufallsexperimenten in seinem Werk Ars Conjectandi (Die Kunst des Vermutens), das posthum im Jahr 1713 veröffentlicht wurde., Bernou⁸l⁷li's Arbeit legte den Grundstein für die Wahrscheinlichkeitstheorie und formalisierte das Konzept der "Bernoulli-Versuche", bei denen es sich um einzelne Experimente mit genau zwei Ergebnissen handelt. Die Binomialverteilung ist eine Erweiterung dieser Idee auf eine Reihe von unabhängigen Bernoulli-Versuchen.

Key Takeaways

• Die Binomialverteilung modelliert die Anzahl der Erfolge in einer festen Anzahl von Versuchen.
• Jeder Versuch muss nur zwei mögliche Ergebnisse haben: Erfolg oder Misserfolg.
• Die Wahrscheinlichkeit eines Erfolgs muss in jedem Versuch konstant bleiben.
• Die Versuche müssen voneinander unabhängig sein.
• Sie ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung und wird häufig im Risikomanagement und bei der Optionspreisfindung eingesetzt.

Formula and Calculation

Die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung, die die Wahrscheinlichkeit von (k) Erfolgen in (n) Versuchen beschreibt, lautet:

$P(X=k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^{n-k}$

Wobei:

• ( P(X=k) ) ist die Wahrscheinlichkeit von genau (k) Erfolgen.
• ( C(n, k) ) (auch bekannt als "n über k" oder Binomialkoeffizient) ist die Anzahl der Möglichkeiten, (k) Erfolge aus (n) Versuchen auszuwählen. Er wird berechnet als $C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
• ( n ) ist die Gesamtzahl der Versuche.
• ( k ) ist die Anzahl der gewünschten Erfolge.
• ( p ) ist die Wahrscheinlichkeit eines Erfolgs in einem einzelnen Versuch (die Erfolgsquote).
• ( (1-p) ) ist die Wahrscheinlichkeit eines Misserfolgs in einem einzelnen Versuch.

Der Erwartungswert (Mittelwert) einer Binomialverteilung ist ( \mu = n * p ), und die Varianz ist ( \sigma^2 = n * p * (1-p) ).

Interpreting the Binomialverteilung

Die Interpretation der Binomialverteilung ermöglicht es Anlegern und Analysten, die Wahrscheinlichkeit spezifischer Ergebnisse in Szenarien mit binären Ereignissen zu verstehen. Ein hoher Wert für (P(X=k)) bedeutet, dass das Eintreten von (k) Erfolgen in (n) Versuchen sehr wahrscheinlich ist. Umgekehrt weist ein niedriger Wert auf eine geringe Wahrscheinlichkeit hin. Diese Verteilung hilft dabei, das Verhalten einer Zufallsvariable zu quantifizieren, die nur zwei mögliche Ergebnisse pro Trial hat. Die Standardabweichung, abgeleitet aus der Varianz, gibt Aufschluss über die Streuung der möglichen Erfolgsergebnisse um den Erwartungswert.

Hypothetical Example

Stellen Sie sich vor, ein Anleger erwägt 10 unabhängige Trades, und basierend auf historischen Daten und der aktuellen Marktanalyse wird die Wahrscheinlichkeit, dass ein einzelner Trade profitabel ist, auf 60% (p = 0,6) geschätzt. Der Anleger möchte die Wahrscheinlichkeit wissen, dass genau 7 dieser 10 Trades profitabel sind.

Hier haben wir:

• (n = 10) (Gesamtzahl der Trades)
• (k = 7) (Anzahl der gewünschten profitablen Trades)
• (p = 0,6) (Wahrscheinlichkeit eines profitablen Trades)

Zuerst berechnen wir den Binomialkoeffizienten (C(10, 7)):
$C(10, 7) = \frac{10!}{7!(10-7)!} = \frac{10!}{7!3!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 4 = 120$

Als Nächstes berechnen wir die Wahrscheinlichkeit:
$P(X=7) = 120 \times (0,6)^7 \times (0,4)^{10-7}$
$P(X=7) = 120 \times (0,6)^7 \times (0,4)^3$
$P(X=7) = 120 \times 0,0279936 \times 0,064$
$P(X=7) \approx 0,215$

Die Wahrscheinlichkeit, dass genau 7 der 10 Trades profitabel sind, beträgt also etwa 21,5%. Dieses Beispiel verdeutlicht, wie die Binomialverteilung verwendet wird, um die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Ergebnisses in einer Reihe von Ereignissen zu bewerten, die jeweils einen Erfolg oder Misserfolg darstellen.

Practical Applications

Die Binomialverteilung findet zahlreiche praktische Anwendungen im Finanzwesen und darüber hinaus. Im Portfoliomanagement kann sie zur Modellierung der Anzahl von Unternehmen in einem Portfolio verwendet werden, die in einem bestimmten Zeitraum Gewinne oder Verluste melden. Banken nutzen sie, um die Wahrscheinlichkeit abzuschätzen, dass eine bestimmte Anzahl von Kreditnehmern in Verzug gerät, was für die Risikobewertung und die Festlegung von Rücklagen entscheidend ist. In der Optionspreisfindung, insbesondere im Binomialmodell von Cox, Ross und Rubinstein, wird die Binomialverteilung verwendet, um die Bewegung des zugrunde liegenden Vermögenswerts über diskrete Zeitschritte zu modellieren, wobei der Preis sich entweder nach oben oder nach unten bewegen kann. Solche Anwendungen sind entscheidend,⁶ um die Wahrscheinlichkeit verschiedener Szenarien in einem dynamischen Markt zu verstehen. Die grundlegenden Konzepte der Binomialverteilung sind auch für ein breiteres Verständnis statistischer Prozesse im Finanzbereich nützlich. Die Federal Reserve Bank of San Francisc⁵o bietet beispielsweise grundlegende Erklärungen zur Funktionsweise von Optionen, die auf Wahrscheinlichkeitskonzepten basieren.

Limitations and Criticisms

Obwohl di⁴e Binomialverteilung ein leistungsfähiges Werkzeug ist, weist sie auch Einschränkungen auf. Eine wesentliche Annahme ist die Unabhängigkeit der Versuche, was in realen Finanzmärkten oft nicht der Fall ist. Beispielsweise können die Ausfälle mehrerer Kredite oder die Renditen mehrerer Vermögenswerte durch makroökonomische Faktoren miteinander korreliert sein. Eine weitere Einschränkung ist die Annahme einer konstanten Erfolgswahrscheinlichkeit für jeden Versuch. In der Praxis können sich die Erfolgswahrscheinlichkeiten, etwa die Wahrscheinlichkeit eines Kursanstiegs, im Laufe der Zeit ändern. Das Ignorieren dieser Dynamik kann zu Fehlinterpretationen führen.

Darüber hinaus ist die Binomialverteilung eine diskrete Verteilung, was bedeutet, dass sie nur für eine feste Anzahl von Versuchen und binären Ergebnissen geeignet ist. Viele Finanzphänomene, wie Aktienkurse, sind jedoch kontinuierlich. Während die Binomialverteilung zur Modellierung von Optionen und anderen Derivaten verwendet werden kann, sind ihre Annahmen vereinfachend. Finanzmodelle, die auf solchen Verteilungen basieren, müssen sorgfältig interpretiert werden, da die Komplexität realer Märkte oft nicht vollständig abgebildet werden kann. Die Federal Reserve diskutiert die Herausforderungen bei der Mod³ellierung von Finanzinstituten und die Wichtigkeit des Verständnisses der Grenzen von Modellen. Eine übermäßige Abhängigkeit von vereinfachten Modellen ohne Berü²cksichtigung ihrer Annahmen und potenziellen Fehler kann zu erheblichen Risiken führen.

Binomialverteilung vs. Normalverteilung

Die Binomialverteilung und die Normalverteilung sind beides grundlegende Wahrscheinlichkeitsverteilungen, unterscheiden sich jedoch in ihren Merkmalen und Anwendungen. Der Hauptunterschied besteht darin, dass die Binomialverteilung eine diskrete Verteilung ist, während die Normalverteilung eine kontinuierliche Verteilung ist.

Die Binomialverteilung wird oft verwendet, wenn man die Anzahl der Vorkommnisse eines bestimmten Ereignisses (z. B. Anzahl der Gewinn-Trades) in einer Reihe von unabhängigen, identischen Versuchen analysieren möchte. Die Normalverteilung hingegen ist die gängigste Verteilung zur Modellierung von Phänomenen, die über eine breite Palette von Werten variieren können (z. B. Aktienrenditen, Körpergröße). Bei einer sehr großen Anzahl von Versuchen und einer Erfolgswahrscheinlichkeit nahe 0,5 kann sich die Binomialverteilung der Normalverteilung annähern, was durch den zentralen Grenzwertsatz erklärt wird.

FAQs

Was ist ein "Bernoulli-Versuch"?

Ein Bernoulli-Versuch ist ein einzelnes Zufallsexperiment, das genau zwei mögliche Ergebnisse hat: Erfolg oder Misserfolg. Die Wahrscheinlichkeit für Erfolg bleibt bei jedem Versuch konstant. Beispiele sind ein Münzwurf (Kopf oder Zahl) oder die Prüfung, ob ein Kunde eine Rechnung bezahlt hat oder nicht.

Wann sollte die Binomialverteilung verwendet werden?

Die Binomialverteilung wird verwendet, wenn man die Wahrscheinlichkeit einer bestimmten Anzahl von Erfolgen in einer festen Anzahl von unabhängigen Versuchen berechnen möchte, wobei jeder Versuch nur zwei Ergebnisse haben kann und die Erfolgswahrscheinlichkeit gleich bleibt. Sie ist nützlich für Szenarien wie die Analyse der Anzahl erfolgreicher Marketingkampagnen oder das Eintreten von Zahlungsausfällen bei einer Gruppe von Krediten.

Was ist der Unterschied zwischen diskreten und kontinuierlichen Verteilungen?

Diskrete Verteilungen, wie die Binomialverteilung, befassen sich mit Ergebnissen, die gezählt werden können und nur bestimmte, getrennte Werte annehmen (z. B. 0, 1, 2, 3 Erfolge). Kontinuierliche Verteilungen hingegen beschreiben Ergebnisse, die jeden Wert innerhalb eines bestimmten Bereichs annehmen können (z. B. die Höhe eines Preises, die Zeit).

Kann die Binomialverteilung im Finanzbereich für Vorhersagen verwendet werden?

Die Binomialverteilung kann die Wahrscheinlichkeit spezifischer Ergebnisse in einem Modell mit binären Ereignissen vorhersagen. Sie ist jedoch keine direkte Vorhersagemethode für zukünftige Marktpreise. Stattdessen hilft sie bei der statistischen Analyse und dem Risikomanagement, indem sie die Wahrscheinlichkeit von Ereignissen wie der Anzahl von Aktiengewinnen oder -verlusten innerhalb einer bestimmten Periode bewertet. Sie basiert auf Annahmen, die in der Realität nicht immer zutreffen.

Welche Rolle spielt der Binomialkoeffizient in der Formel?

Der Binomialkoeffizient (C(n, k)) gibt an, wie viele verschiedene Kombinationen es gibt, um genau (k) Erfolge in (n) Versuchen zu erzielen. Er berücksichtigt, dass die Reihenfolge der Erfolge und Misserfolge keine Rolle spielt. Ohne ihn würde die Formel die verschiedenen Anordnungen übersehen, die zum gleichen Ergebnis führen können.¹