Convexiteit

Wat Is Convexiteit?

Convexiteit is een maatstaf voor de kromming in de relatie tussen de obligatieprijs en de yield to maturity van een obligatie, en behoort tot de bredere categorie van fixed income analyse. Het geeft aan hoe de duration van een obligatie verandert naarmate de rentetarieven bewegen. Terwijl duration een lineaire schatting geeft van prijswijzigingen als gevolg van interest rate veranderingen, vangt convexiteit het niet-lineaire aspect van deze relatie op. Voor beleggers in fixed income is het begrijpen van convexiteit cruciaal voor het nauwkeuriger beoordelen van interest rate risk en het optimaliseren van portfolio management strategieën. Over het algemeen impliceert een hogere convexiteit dat de prijs van een obligatie minder negatief wordt beïnvloed door rentestijgingen en positiever door rentedalingen.

⁷⁹, ⁸⁰, ⁸¹## Geschiedenis en Oorsprong

Het concept van convexiteit kwam voort uit de noodzaak om de beperkingen van duration als enige maatstaf voor de renterisicogevoeligheid van obligaties te verfijnen. Hoewel Macaulay duration in 1938 werd geïntroduceerd om de gewogen gemiddelde looptijd van de kasstromen van een obligatie te meten, bleek dat de lineaire benadering van duration onvoldoende was om de werkelijke prijsschommelingen bij grotere rentewijzigingen vast te leggen. De⁷⁸ relatie tussen obligatieprijzen en rendementen is immers niet lineair, maar vertoont een kromming. Convexiteit werd ontwikkeld om deze kromming te kwantificeren, en wordt vaak toegeschreven aan het werk van Hon-Fei Lai en gepopulariseerd door Stanley Diller. De⁷⁷ ontwikkeling van convexiteit als een tweede-orde maatstaf verbeterde de nauwkeurigheid van het voorspellen van prijswijzigingen aanzienlijk, vooral bij substantiële renteschommelingen, en erkende dat de duration zelf verandert naarmate de rentetarieven variëren.

⁷⁵, ⁷⁶Key Takeaways

Convexiteit meet de kromming van de prijs-rendementrelatie van een obligatie en is een aanvulling op de lineaire maatstaf duration.
⁷⁴Een obligatie met positieve convexiteit ervaart een grotere prijsstijging bij een rentedaling dan een prijsdaling bij een equivalente rentestijging.
⁷², ⁷³Negatieve convexiteit komt vaak voor bij callable bonds en mortgage-backed securities, wat duidt op een ongunstigere prijsreactie op renteschommelingen.
⁷⁰, ⁷¹Convexiteit is bijzonder belangrijk bij grote renteschommelingen, omdat de duration dan minder nauwkeurig is in het voorspellen van prijswijzigingen.
⁶⁸, ⁶⁹Beleggers kunnen convexiteit gebruiken voor risk management en om portfolio management strategieën te optimaliseren om de interest rate risk te verminderen.

F⁶⁶, ⁶⁷ormula and Calculation

De formule voor het berekenen van convexiteit voor een obligatie is als volgt:

\text{Convexiteit} = \frac{1}{P \cdot (1 + \text{YTM})^2} \sum_{t=1}^{N} \frac{\text{CF}_t}{(1 + \text{YTM})^t} \left( t^2 + t \right)

Waarbij:

(P) = De huidige obligatieprijs
[⁶⁵](https://www.financestrategists.com/wealth-management/bonds/convexity-in-bond/)(\text{CF}_t\) = De kasstroom (couponbetaling of hoofdsom) in periode (t)
(\text{YTM}) = De yield to maturity per periode
[⁶⁴](https://www.financestrategists.com/wealth-management/bonds/convexity-in-bond/)(N\) = Het totale aantal perioden tot de vervaldatum
[⁶³](https://www.financestrategists.com/wealth-management/bonds/convexity-in-bond/)(t\) = Het tijdstip van de kasstroom

Deze⁶² formule berekent de convexiteit als de gewogen gemiddelde van het kwadraat van de tijd tot de kasstromen, gedeeld door de obligatieprijs en de discontovoet. De te⁶¹rm ( (t^2 + t) ) in de sommatie geeft de toenemende invloed van kasstromen die verder in de toekomst liggen op de convexiteit van de obligatie aan.

Interpreting de Convexiteit

De interpretatie van convexiteit is cruciaal voor beleggers die fixed income effecten beheren. In essentie beschrijft convexiteit hoe de duration van een obligatie — de gevoeligheid van de obligatieprijs voor renteschommelingen — zelf verandert als de rentetarieven stijgen of dalen.

Een obligatie met positieve convexiteit betekent dat wanneer de rentetarieven dalen, de prijs van de obligatie meer zal stijgen dan de duration alleen zou voorspellen. Omgekeerd zal bij een rentestijging de prijsdaling kleiner zijn dan de duration zou indiceren. Dit "asym⁵⁹, ⁶⁰metrische" rendement is gunstig voor de belegger, omdat het zorgt voor grotere potentiële winsten bij dalende rentes en een beperking van verliezen bij stijgende rentes. De meeste ⁵⁷, ⁵⁸standaard obligaties (zonder ingebedde opties) vertonen positieve convexiteit.

Daarenteg⁵⁶en duidt negatieve convexiteit op een ongunstigere prijsreactie. Dit betekent dat bij een rentedaling de prijs van de obligatie minder zal stijgen, en bij een rentestijging de prijs meer zal dalen dan de duration suggereert. Negatieve ⁵⁴, ⁵⁵ convexiteit wordt vaak waargenomen bij callable bonds (obligaties die de emittent het recht geven om de obligatie terug te kopen vóór de vervaldatum) of mortgage-backed securities (MBS'en). De ingebedde optie om de obligatie vervroegd af te lossen of terug te roepen, beperkt de opwaartse prijsbeweging bij dalende rentes.

Over het al⁵², ⁵³gemeen geldt dat hoe hoger de convexiteit (positief), hoe gunstiger de obligatie is voor beleggers in een volatiele renteomgeving, aangezien het de interest rate risk helpt dempen.

Hypothet⁵¹isch Voorbeeld

Stel, een belegger bezit een obligatie A met een duration van 7 jaar en een convexiteit van 60. Een andere obligatie B heeft ook een duration van 7 jaar, maar een convexiteit van 30. Beide obligaties hebben een initiële obligatieprijs van €1.000.

Laten we twee scenario's bekijken voor een verandering in interest rate van 1% (100 basispunten):

Scenario 1: Rentetarieven dalen met 1%

Verandering in prijs door duration (lineaire benadering):
- Voor beide obligaties zou de prijs naar verwachting stijgen met ongeveer 7% (7 jaar duration * 1% daling).
- Verandering = €1.000 * 0.07 = €70. Nieuwe prijs = €1.070.
Aanpassing door convexiteit:
- De prijsverandering door convexiteit wordt doorgaans berekend als 0,5 * Convexiteit * ( (\Delta YTM)^2 ), waarbij (\Delta YTM) de verandering in yield to maturity is in decimale vorm (0.01 voor 1%).
- Obligatie A (Convexiteit 60): 0.5 * 60 * ( (0.01)^2 ) = 0.5 * 60 * 0.0001 = 0.003 of 0.3%.
  - Prijsstijging door convexiteit = €1.000 * 0.003 = €3.
  - Totale verwachte prijsstijging voor obligatie A = €70 (duration) + €3 (convexiteit) = €73.
  - Nieuwe prijs obligatie A = €1.073.
- Obligatie B (Convexiteit 30): 0.5 * 30 * ( (0.01)^2 ) = 0.5 * 30 * 0.0001 = 0.0015 of 0.15%.
  - Prijsstijging door convexiteit = €1.000 * 0.0015 = €1,50.
  - Totale verwachte prijsstijging voor obligatie B = €70 (duration) + €1,50 (convexiteit) = €71,50.
  - Nieuwe prijs obligatie B = €1.071,50.

In dit scenario stijgt obligatie A (hogere convexiteit) meer in prijs dan obligatie B, ondanks dezelfde duration.

Scenario 2: Rentetarieven stijgen met 1%

Verandering in prijs door duration (lineaire benadering):
- Voor beide obligaties zou de prijs naar verwachting dalen met ongeveer 7% (7 jaar duration * 1% stijging).
- Verandering = €1.000 * -0.07 = -€70. Nieuwe prijs = €930.
Aanpassing door convexiteit:
- De aanpassing door convexiteit is altijd positief en vermindert de daling of vergroot de stijging.
- Obligatie A (Convexiteit 60): 0.5 * 60 * ( (0.01)^2 ) = 0.003 of 0.3%.
  - Prijsstijging door convexiteit = €1.000 * 0.003 = €3.
  - Totale verwachte prijsverandering voor obligatie A = -€70 (duration) + €3 (convexiteit) = -€67.
  - Nieuwe prijs obligatie A = €933.
- Obligatie B (Convexiteit 30): 0.5 * 30 * ( (0.01)^2 ) = 0.0015 of 0.15%.
  - Prijsstijging door convexiteit = €1.000 * 0.0015 = €1,50.
  - Totale verwachte prijsverandering voor obligatie B = -€70 (duration) + €1,50 (convexiteit) = -€68,50.
  - Nieuwe prijs obligatie B = €931,50.

Ook in dit scenario presteert obligatie A (hogere convexiteit) beter dan obligatie B, door een kleinere prijsdaling. Dit hypothetische voorbeeld illustreert dat een hogere convexiteit gunstiger is voor beleggers, ongeacht de richting van de rentewijziging.

Practical Applications

Convexiteit is een essentieel instrument in fixed income analyse en portfolio management, vooral voor beleggers die zich bezighouden met risk management in de obligatiemarkten.

Nauwkeurigere Prijsvoorspelling: Terwijl duration een lineaire schatting geeft van prijswijzigingen als gevolg van kleine renteschommelingen, biedt convexiteit een tweede-orde aanpassing die de kromming van de prijs-rendementrelatie meeneemt. Dit leidt tot een veel nauwkeurigere voorspelling van de obligatieprijs bij grotere rentewijzigingen.
Beheer van Rentenrisico: Obligaties met een hogere positieve [conv⁴⁸, ⁴⁹, ⁵⁰exiteit](https://diversification.com/term/convexiteit) worden vaak geprefereerd in omgevingen met onzekere rentetarieven of verwachte grote renteschommelingen. Ze bieden een "demper" tegen prijstdalingen bij rentestijgingen en versterken prijswinsten bij rentedalingen, wat bijdraagt aan capital preservation.
Portefeuille Optimalisatie: Beheerders van [fixed income](https://⁴⁶, ⁴⁷diversification.com/term/fixed-income) portefeuilles gebruiken convexiteit om de algehele gevoeligheid van hun portefeuille voor interest rate risk te verfijnen. Door obligaties met verschillende convexiteitsprofielen te combineren, kunnen ze portefeuilles samenstellen die beter presteren in specifieke marktomstandigheden of die voldoen aan specifieke risicotoleranties.
Asset-Liability Management: Financiële instellingen zoals pensioen⁴⁴, ⁴⁵fondsen en verzekeringsmaatschappijen gebruiken convexiteit in hun asset-liability management strategieën om de duration van activa en passiva beter op elkaar af te stemmen, waardoor de portefeuille wordt geïmmuniseerd tegen renterisico.
Analyse van Opties in Obligaties: Voor obligaties met ingebedde optie⁴³s, zoals callable bonds of putable bonds, is convexiteit van cruciaal belang. Deze obligaties kunnen negatieve convexiteit vertonen, wat specifieke risico's met zich meebrengt die beleggers moeten begrijpen. De U.S. Securities and Exchange Commission (SEC) publiceert bijvoorbeeld bulle⁴²tins om beleggers te informeren over de kenmerken en risico's van obligaties, waaronder de invloed van opties.

Limitations and Criticisms

Hoewel [convexiteit](https://diversification.c[³⁹](https://www.investor.gov/introduction-investing/general-resources/news-alerts/alerts-bulletins/investor-bulletins-37), ⁴⁰, ⁴¹om/term/convexity) een waardevolle aanvulling is op duration voor het analyseren van fixed income effecten, kent het ook bepaalde beperkingen en kritiekpunten.

Ten eerste gaat de standaardberekening van convexiteit uit van parallelle verschuivingen in de yield curve. In de praktijk bewegen rentetarieven over verschillende looptijden echter vaak niet uniform (niet-parallelle verschuivingen), wat de nauwkeurigheid van de convexiteitschatting kan verminderen. Dit betekent dat de voorspellingen minder betrouwbaar kunnen zijn in markten w³⁸aar de korte en lange rentes uiteenlopen.

Ten tweede vangt convexiteit, net als duration, alleen het interest rate risk op. Het houdt geen rekening met andere belangrijke risico's, zoals kredietrisico (het risico dat de emittent in gebreke blijft) of liquiditeitsrisico (het risico dat een obligatie niet gemakkelijk kan worden gekocht of verkocht zonder aanzienlijke prijswijziging). Beleggers moeten deze factoren apart beoordelen bij het beheren van hun [portf³⁷olio management](https://diversification.com/term/portfolio-management) strategieën.

Daarnaast kunnen ingebedde opties in obligaties de convexiteit aanzienlijk beïnvloeden en zelfs leiden tot negatieve convexiteit. Voor callable bonds kan bijvo³⁵, ³⁶orbeeld de prijsstijging bij dalende rentes worden afgetopt door de mogelijkheid van de emittent om de obligatie terug te kopen. Dit creëert een knik in de prijs-rendementcurve die de voordelen van positieve convexiteit tenietdoet, en maakt de convexiteit een minder betrouwbare maatstaf voor deze specifieke instrumenten.

Hoewel convexiteit nuttig is voo³³, ³⁴r grotere rentewijzigingen, is het nog steeds een benadering. Het biedt een tweede-orde schatting en is mogelijk niet perfect nauwkeurig bij extreem grote of abrupte veranderingen in de rentetarieven. Experts suggereren dat convexiteit moet worden gebruikt in combinatie met andere risk management tools, zoals scenarioplanning en stresstesten, om een uitgebreider beeld van potentiële prijsbewegingen te krijgen.

Een kritiekpunt dat academisch is onderzocht, is dat "convexity is not always goo³¹, ³²d" in alle scenario's, afhankelijk van specifieke beleggingsdoelstellingen of marktomstandigheden, wat benadrukt dat de toepassing van convexiteit genuanceerd moet zijn.

Convexiteit vs. Duration

[Convexiteit](https://diversification.com/term/conve[²⁹](https://www.analystforum.com/t/convexity-when-is-it-good-when-is-it-bad/126558), ³⁰xiteit) en duration zijn beide fundamentele maatstaven in fixed income analyse die de gevoeligheid van de obligatieprijs voor interest rate veranderingen kwantificeren, maar ze meten verschillende aspecten van deze gevoeligheid.

Kenmerk	Duration	Convexiteit
Definitie	Een maatstaf voor de gemiddelde looptijd van de kasstromen van een obligatie, die de lineaire gevoeligheid van de prijs voor rentewijzigingen schat.	Een maatstaf voor de kromming van de prijs-rendementrelatie van een obligatie, die aangeeft hoe de duration van een obligatie verandert naarmate de rentetarieven bewegen.
Nauwkeurigheid	Nauwkeurig voor kleine rentes²⁸chommelingen. ²⁷	Verbetert de nauwkeurigheid van de prijsvoorspelling, vooral bij grote renteschommelingen, door rekening te houden met het niet-lineaire verband. ²⁵, ²⁶
Wiskundig	Eerste afgeleide van de obligatieprijs met betrekking tot de rente.	Tweede afgeleide van de obligatieprijs met betrekking tot de rente; meet de verandering in duration.
Implicatie voor Belegger	Hoge²², ²³re duration betekent grotere prijsschommelingen bij een gegeven rentewijziging (hoger interest rate risk).	Positieve convexiteit is gunstig²¹: grotere prijsstijging bij rentedaling, kleinere prijsdaling bij rentestijging. Negatieve convexiteit is ongunstig.
Relatie	Convexiteit ¹⁹, ²⁰corrigeert de "fout" die optreedt wanneer duration wordt gebruikt om prijzen te schatten voor grotere rentewijzigingen, omdat de werkelijke prijs-rendementcurve gekromd is, niet lineair. ¹⁷, ¹⁸	De mate van convexiteit hangt af van factoren die ook de duration beïnvloeden, zoals de looptijd en de couponrente.

De verwarring ontstaat ¹⁶vaak doordat beide concepten betrekking hebben op de gevoeligheid van obligatieprijzen voor renteschommelingen. Het belangrijkste onderscheid is dat duration een lineaire benadering is, terwijl convexiteit de afwijking van die lineariteit (de kromming) vastlegt. Het samen gebruiken van duration en convexiteit geeft beleggers een completer beeld van het interest rate risk van een obligatie.

FAQs

Wat betekent een hoge convexiteit?

Een hoge [convexiteit](https://di[¹⁴](https://madisoninvestments.com/resources/interest-rate-risk-understanding-duration-convexity), ¹⁵versification.com/term/convexiteit) betekent dat de prijs van een obligatie meer zal stijgen bij een daling van de interest rate dan deze zal dalen bij een vergelijkbare stijging van de interest rate. Dit is over het algemeen gunstig voor beleggers, omdat het de potentiële winsten bij dalende rentes vergroot en de verliezen bij stijgende rentes beperkt.

Kan convexiteit negatief zijn?

Ja, [convexiteit](https://diversification.com/t[¹²](https://analystprep.com/cfa-level-1-exam/fixed-income/convexity-and-convexity-adjustment/), ¹³erm/convexiteit) kan negatief zijn. Dit komt vaak voor bij obligaties met ingebedde opties, zoals callable bonds (obligaties die de emittent het recht geven om de obligatie terug te kopen). Bij negatieve convexiteit zal de prijs van de obligatie minder stijgen bij dalende rentes en meer dalen bij stijgende rentes, wat ongunstig is voor de belegger.

Waarom is convexiteit belangrijk voor obligatiebeleggers?

[Convexiteit](https:¹⁰, ¹¹//diversification.com/term/convexiteit) is belangrijk omdat duration alleen een lineaire schatting geeft van prijswijzigingen en minder nauwkeurig is bij grote renteschommelingen. Convexiteit biedt een nauwkeurigere ⁹voorspelling van hoe de obligatieprijs zal reageren op significante rentewijzigingen, waardoor beleggers beter in staat zijn om interest rate risk te beheren en weloverwogen bond valuation beslissingen te nemen.

Welke factoren beïnvloeden de convexiteit van een obligatie?

De [convexiteit](⁷, ⁸ https://diversification.com/term/convexiteit) van een obligatie wordt beïnvloed door verschillende factoren, waaronder de looptijd tot de vervaldatum (langere looptijd leidt tot hogere convexiteit), de couponrente (lagere couponrente leidt tot hogere convexiteit, waarbij zero-coupon bonds de hoogste convexiteit hebben), en de yield to maturity. Ook de aanwezigheid van ingebedde opties, zoals call- of put-opties, heeft een aanzienlijke invloed.

Hoe wordt convexiteit gebruikt in risicobeheer?

In [risk management](https://div[⁴](https://fintelligents.com/what-is-duration-convexity/), ⁵, ⁶ersification.com/term/risk-management) wordt convexiteit gebruikt om de blootstelling aan interest rate risk te optimaliseren. Beleggers kunnen portefeuilles samenstellen met een hogere convexiteit om zich te beschermen tegen onverwachte grote renteschommelingen, of juist met een lagere convexiteit als stabiliteit bij kleine renteschommelingen de voorkeur heeft. Het helpt ook bij het ontwikkelen van hedging strategies.¹, ², ³