Distribuzione normale

What Is Distribuzione normale?

La distribuzione normale, spesso chiamata distribuzione gaussiana o "curva a campana", è una distribuzione di probabilità continua che è simmetrica rispetto al suo mean, indicando che i dati vicini alla media sono più frequenti rispetto a quelli lontani. Questa caratteristica le conferisce la distintiva forma a "bell curve" quando viene rappresentata graficamente. La distribuzione normale è un concetto fondamentale nella statistica inferenziale e trova ampie applicazioni nella categoria più ampia della Probability and Statistics, inclusi la finanza e l'economia. È definita da due parametri: la media ((\mu)), che rappresenta il centro della distribuzione, e la standard deviation ((\sigma)), che ne misura la dispersione o la "larghezza".

History and Origin

L'origine della distribuzione normale può essere fatta risalire ai primi studi sulla teoria degli errori e della probabilità. Il primo a descrivere una forma di questa distribuzione fu il matematico francese Abraham de Moivre nel 1733, come approssimazione alla distribuzione binomiale per un gran numero di prove. Tuttavia, i contributi più significativi e la sua associazione con il nome "gaussiana" derivano dal lavoro del matematico tedesco Carl Friedrich Gauss. Nel 1809, Gauss sviluppò questa funzione esponenziale a due parametri in relazione ai suoi studi sugli errori di osservazione astronomica, formulando la sua legge degli errori di osservazione. Successiva⁷mente, il matematico francese Pierre-Simon Laplace, che in precedenza aveva lavorato su concetti simili, consolidò l'importanza della distribuzione normale dimostrando il Teorema del Limite Centrale nel 1810. Questo teor⁶ema stabilisce che la somma o la media di una sequenza sufficientemente grande di variabili casuali indipendenti e identicamente distribuite tenderà a una distribuzione normale, indipendentemente dalla distribuzione originale delle variabili.

Key Take⁵aways

La distribuzione normale è una distribuzione di probabilità continua, simmetrica e a forma di campana.
È completamente caratterizzata dalla sua media ((\mu)) e dalla sua deviazione standard ((\sigma)).
Circa il 68% dei dati rientra in una deviazione standard dalla media, il 95% in due deviazioni standard e il 99,7% in tre (la regola empirica).
È ampiamente utilizzata nella gestione del rischio, nella modellizzazione finanziaria e nell'inferenza statistica, sebbene le sue ipotesi debbano essere considerate criticamente.
L'assunzione di rendimenti distribuiti normalmente è alla base di molti modelli finanziari, inclusa la moderna teoria di portafoglio.

Formula and Calculation

La funzione di densità di probabilità (PDF) della distribuzione normale è data da:

$f(x | \mu, \sigma^2) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$

Dove:

$x$ è il valore della variabile casuale.
$\mu$ è la media della distribuzione.
$\sigma^2$ è la variance della distribuzione (il quadrato della deviazione standard).
$\sigma$ è la deviazione standard.
$e$ è la base del logaritmo naturale (circa 2.71828).
$\pi$ è pi greco (circa 3.14159).

Questa formula descrive l'altezza della curva (la densità di probabilità) per ogni dato valore $x$ lungo l'asse orizzontale, data la media e la varianza della distribuzione.

Interpreting the Distribuzione normale

L'interpretazione della distribuzione normale si basa principalmente sulla sua forma simmetrica e sulle proprietà della deviazione standard. La "regola empirica" o "regola 68-95-99.7" è un'interpretazione chiave:

Circa il 68% dei dati si trova entro una deviazione standard dalla media.
Circa il 95% dei dati si trova entro due deviazioni standard dalla media.
Circa il 99,7% dei dati si trova entro tre deviazioni standard dalla media.

Questa regola permette di stimare rapidamente la probabilità che un'osservazione cada all'interno di un certo intervallo dalla media. In finanza, ad esempio, se i rendimenti giornalieri di un'azione fossero distribuiti normalmente con un certo rendimento atteso e una deviazione standard, si potrebbe stimare la probabilità di un rendimento superiore o inferiore a un certo livello.

Hypothetical Example

Consideriamo un portafoglio di investimenti il cui rendimento annuale è storicamente modellato da una distribuzione normale con una media ((\mu)) del 7% e una deviazione standard ((\sigma)) del 10%.

Rendimento medio: Il portafoglio ha un rendimento atteso del 7% annuo.
Volatilità: La deviazione standard del 10% indica la dispersione tipica dei rendimenti attorno alla media.
Intervalli di probabilità:
- C'è circa il 68% di probabilità che il rendimento annuale del portafoglio cada tra -3% (7% - 10%) e 17% (7% + 10%).
- C'è circa il 95% di probabilità che il rendimento annuale cada tra -13% (7% - 210%) e 27% (7% + 210%).
- C'è circa il 99,7% di probabilità che il rendimento annuale cada tra -23% (7% - 310%) e 37% (7% + 310%).

Questo esempio illustra come la distribuzione normale possa aiutare a comprendere la gamma di risultati probabili per un investimento, fornendo un quadro per la valutazione del rischio e del potenziale di rendimento.

Practical Applications

La distribuzione normale trova numerose applicazioni pratiche in vari campi della finanza e dell'economia:

Modern Portfolio Theory (MPT): La MPT, introdotta da Harry Markowitz, assume che i rendimenti degli asset siano distribuiti normalmente. Questa assunzione è fondamentale per la costruzione di portafogli efficienti che massimizzano i rendimenti per un dato livello di rischio.
Value at Risk (VaR): Molti modelli⁴ per calcolare il Value at Risk (VaR) si basano sull'ipotesi che i rendimenti degli asset seguano una distribuzione normale. Questo consente alle istituzioni finanziarie di stimare le potenziali perdite massime su un portafoglio entro un dato orizzonte temporale e un certo livello di confidenza.
Opzioni Pricing: Il modello di Black-Scholes per la valutazione delle opzioni assume che i rendimenti dei prezzi delle azioni seguano una distribuzione log-normale, che è strettamente correlata alla distribuzione normale.
Test di ipotesi: Nella statistica inferenziale, la distribuzione normale è utilizzata in molti test di ipotesi per determinare se i risultati campionari sono statisticamente significativi.
Analisi della efficienza del mercato: L'analisi dei movimenti dei prezzi degli asset spesso valuta se i prezzi si muovono in modo casuale e se i loro rendimenti si allineano con una distribuzione normale, indicando potenzialmente un mercato efficiente.

Limitations and Criticisms

Nonostante la sua pervasività, l'applicazione della distribuzione normale in finanza è soggetta a diverse limitazioni e critiche:

Coda Pesante (Fat Tails): I rendimenti finanziari reali spesso mostrano "code pesanti" (leptocurtosi), il che significa che gli eventi estremi (grandi guadagni o grandi perdite) si verificano con una frequenza maggiore di quanto predetto da una distribuzione normale. La crisi finanziaria del 2008, ad esempio, ha ³evidenziato come l'assunzione di normalità non sia riuscita a catturare l'entità degli eventi di mercato estremi.
Asimmetria (Skewness): Le distribuzioni ²normali sono perfettamente simmetriche. Tuttavia, i rendimenti finanziari possono essere asimmetrici, mostrando ad esempio una maggiore probabilità di piccole perdite e una minore probabilità di grandi guadagni (asimmetria negativa) o viceversa.
Il Teorema del Limite Centrale in pratica: Sebbene il Teorema del Limite Centrale suggerisca la convergenza alla normalità per campioni sufficientemente grandi, in pratica, il numero di osservazioni potrebbe non essere sufficiente o le variabili potrebbero non essere veramente indipendenti e identicamente distribuite.
Rendimento non negativo: La distribuzione normale consente valori negativi illimitati, il che non è realistico per variabili come i prezzi delle azioni, che non possono scendere al di sotto di zero. Per i prezzi, si ricorre spesso alla distribuzione log-normale.

Queste limitazioni portano spesso all'uso di modelli più complessi in finanza quantitativa che possono meglio catturare le caratteristiche empiriche dei rendimenti degli asset, come le code pesanti e l'asimmetria.

Distribuzione normale vs. Distribuzione di Student

Sebbene entrambe siano distribuzioni continue e simmetriche, la distribuzione normale e la distribuzione di Student (o t-distribution) hanno differenze cruciali, particolarmente rilevanti nell'inferenza statistica.

La distribuzione normale è caratterizzata dalla sua forma a campana con code che si assottigliano rapidamente. È la distribuzione predefinita per molte inferenze statistiche quando la dimensione del campione è grande e la deviazione standard della popolazione è nota.

Al contrario, la distribuzione di Student ha "code più pesanti" rispetto alla distribuzione normale. Questo significa che attribuisce una probabilità maggiore agli eventi estremi o ai valori lontani dalla media. È particolarmente utile quando si lavora con campioni di piccole dimensioni o quando la deviazione standard della popolazione è sconosciuta e deve essere stimata dal campione. Con l'aumentare della dimensione del campione, la distribuzione di Student converge alla distribuzione normale, rendendo le due quasi indistinguibili per campioni molto grandi.

FAQs

Cos'è una distribuzione normale standardizzata?

Una distribuzione normale standardizzata è un caso speciale della distribuzione normale in cui la media ((\mu)) è 0 e la deviazione standard ((\sigma)) è 1. Qualsiasi distribuzione normale può essere trasformata in una dis¹tribuzione normale standardizzata utilizzando una formula di "punteggio Z", che indica quante deviazioni standard un valore è lontano dalla media.

Perché la distribuzione normale è importante in finanza?

È importante in finanza perché semplifica l'analisi di dati complessi, permette l'applicazione di strumenti come il Value at Risk (VaR) e modelli di pricing delle opzioni, e costituisce la base di teorie come la Modern Portfolio Theory. Sebbene abbia delle limitazioni, fornisce un punto di partenza utile per la modellizzazione e la gestione del rischio.

La distribuzione normale descrive accuratamente i rendimenti reali degli investimenti?

Non sempre. Mentre la distribuzione normale è un'utile approssimazione, i rendimenti reali degli investimenti spesso mostrano caratteristiche come "code pesanti" (eventi estremi più frequenti) e asimmetria (distribuzioni non simmetriche) che la distribuzione normale non riesce a catturare. Di conseguenza, i modelli finanziari più avanzati spesso utilizzano distribuzioni alternative che riflettono meglio queste proprietà empiriche.