Normale distributie

Wat Is Normale Distributie?

De normale distributie, ook bekend als de Gauss-verdeling of klokcurve, is een symmetrische kansverdeling die de neiging van gegevens heeft om zich te groeperen rondom een centrale waarde. Deze verdeling is fundamenteel in de kwantitatieve analyse en statistiek, omdat veel natuurlijke en economische fenomenen de neiging hebben om deze vorm aan te nemen wanneer voldoende waarnemingen worden verzameld. Bij een normale distributie zijn het gemiddelde, de mediaan en de modus identiek en bevinden ze zich in het midden van de verdeling, wat resulteert in een perfect symmetrische, klokvormige grafiek. De spreiding van de gegevens rondom dit middelpunt wordt bepaald door de standaardafwijking.

Geschiedenis en Oorsprong

Het concept van de normale distributie heeft een rijke geschiedenis die teruggaat tot de 18e eeuw. De eerste die een vroege vorm van de normale curve beschreef, was Abraham de Moivre in 1733, toen hij de benadering van de binomiale verdeling onderzocht bij een groot aantal experimenten. Zijn werk vond echter aanvankelijk weinig erkenning. De verdeling werd later uitgebreid bestudeerd door de Franse wiskundige Pierre-Simon Laplace en de Duitse wiskundige Carl Friedrich Gauss. Gauss paste de verdeling toe in zijn studies van astronomische meetfouten rond 1809, wat leidde tot de alternatieve naam "Gauss-verdeling". Hoewel de term "normaal" pas veel later populair werd, legden deze vroege pioniers de theoretische basis voor wat een van de meest invloedrijke concepten in de statistiek zou worden.³⁶

Belangrijkste Punten

De normale distributie is een symmetrische, klokvormige kansverdeling waarbij het gemiddelde, de mediaan en de modus samenvallen.
Ongeveer 68% van de gegevens ligt binnen één standaardafwijking van het gemiddelde, 95% binnen twee, en 99,7% binnen drie standaardafwijkingen (de 68-95-99.7-regel).
Het is een cruciaal concept in statistische inferentie, hypothesetesten en het opbouwen van betrouwbaarheidsintervallen.
De Centrale Limiet Stelling stelt dat de steekproefverdeling van het gemiddelde van een voldoende grote steekproef, onafhankelijk van de oorspronkelijke verdeling, bij benadering normaal verdeeld zal zijn.

Formule en Berekening

De kansdichtheidsfunctie (PDF) voor een normale distributie wordt gegeven door de volgende formule:

f(x | \mu, \sigma^2) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}}

Hierin zijn:

(x) = de waarde van de variabele
(\mu) = het populatie gemiddelde (de centrale piek)
(\sigma^2) = de variantie van de populatie
(\sigma) = de standaardafwijking van de populatie
(\pi) (\approx) 3.14159
(e) (\approx) 2.71828 (de basis van de natuurlijke logaritme)

Deze formule beschrijft de hoogte van de klokvormige curve voor elke gegeven waarde (x), afhankelijk van het gemiddelde en de variantie van de gegevens.

De Normale Distributie Interpreteren

De interpretatie van een normale distributie draait om het gemiddelde ((\mu)) en de standaardafwijking ((\sigma)). Het gemiddelde ((\mu)) geeft de centrale tendens van de gegevens aan, terwijl de standaardafwijking ((\sigma)) de spreiding of volatiliteit meet. Hoe kleiner de standaardafwijking, hoe smaller en puntiger de klokcurve, wat betekent dat de gegevens dichter rond het gemiddelde geclusterd zijn. Een grotere standaardafwijking resulteert in een bredere, plattere curve, wat duidt op een grotere spreiding van gegevens.

Cruciaal voor de interpretatie is de 68-95-99.7-regel (ook bekend als de empirische regel), die stelt dat voor een normale distributie:

Ongeveer 68% van de gegevens binnen één standaardafwijking van het gemiddelde valt.
Ongeveer 95% van de gegevens binnen twee standaardafwijkingen van het gemiddelde valt.
Ongeveer 99,7% van de gegevens binnen drie standaardafwijkingen van het gemiddelde valt.

De³⁵ze regel maakt het mogelijk om snel inzicht te krijgen in de waarschijnlijkheid van een bepaalde uitkomst, gebaseerd op het gemiddelde en de spreiding. Een Z-score kan worden gebruikt om aan te geven hoeveel standaardafwijkingen een bepaalde datapunt van het gemiddelde verwijderd is.

Hypothetisch Voorbeeld

Stel, een vermogensbeheerder analyseert de dagelijkse beleggingsrendementen van een fictief aandeel over een lange periode en constateert dat deze rendementen bij benadering een normale distributie volgen. Het gemiddelde dagelijkse rendement ((\mu)) is 0,05% en de standaardafwijking ((\sigma)) is 1%.

Met behulp van de eigenschappen van de normale distributie kan de beheerder voorspellingen doen over toekomstige rendementen:

Binnen één standaardafwijking: Ongeveer 68% van de dagelijkse rendementen zal naar verwachting tussen (\mu - \sigma) en (\mu + \sigma) liggen, oftewel tussen 0,05% - 1% = -0,95% en 0,05% + 1% = 1,05%.
Binnen twee standaardafwijkingen: Ongeveer 95% van de dagelijkse rendementen zal naar verwachting tussen (\mu - 2\sigma) en (\mu + 2\sigma) liggen, oftewel tussen 0,05% - 2% = -1,95% en 0,05% + 2% = 2,05%.
Binnen drie standaardafwijkingen: Ongeveer 99,7% van de dagelijkse rendementen zal naar verwachting tussen (\mu - 3\sigma) en (\mu + 3\sigma) liggen, oftewel tussen 0,05% - 3% = -2,95% en 0,05% + 3% = 3,05%.

Dit hypothetische voorbeeld illustreert hoe de normale distributie kan worden gebruikt om de waarschijnlijkheid van verschillende beleggingsrendementen te schatten en inzicht te krijgen in de verwachte spreiding.

Praktische Toepassingen

De normale distributie is een hoeksteen in financiële theorie en praktijk, ondanks de inherente complexiteit van markten. Het wordt breed toegepast in:

Risicobeheer: Modellen voor risicobeheer, zoals Value-at-Risk (VaR), maken vaak de aanname van normaal verdeelde activarendementen om potentiële verliezen te kwantificeren.
P³⁴ortefeuillebeheer: In de moderne portefeuillebeheertheorie, zoals het Capital Asset Pricing Model (CAPM), worden rendementen vaak als normaal verdeeld beschouwd om risico en verwacht rendement te modelleren.
Optieprijsmodellen: Het Black-Scholes-model, een veelgebruikt model voor het prijzen van opties, gaat uit van log-normaal verdeelde onderliggende activaprijzen (wat betekent dat de logaritme van de prijzen normaal verdeeld is).
Kwantitatieve analyse: In kwantitatieve analyse wordt de normale distributie gebruikt voor statistische inferentie, hypothesetesten en het construeren van betrouwbaarheidsintervallen voor verschillende financiële metingen.
Economische gegevensanalyse: Veel macro-economische indicatoren en enquêteresultaten worden geanalyseerd met behulp van aannames van normale distributie om trends te identificeren en voorspellingen te doen.

Beperkingen en Kritiekpunten

Hoewel de normale distributie een krachtig en veelgebruikt instrument is, kent het belangrijke beperkingen, vooral in de financiële wereld:

"Dikke staarten" (Fat Tails): Een van de belangrijkste kritiekpunten is dat financiële marktrendementen in de praktijk vaak "dikke staarten" vertonen. Dit betekent dat extreme gebeurtenissen (grote prijsbewegingen of crashes) vaker voorkomen dan de normale distributie zou voorspellen. De normale distributie onderschat de waarschijnlijkheid van deze zeldzame, maar impactvolle gebeurtenissen. Dit kan lei³³den tot een onderwaardering van risicobeheer en potentiële verliezen.
Symmetrie-aanname: De normale distributie is perfect symmetrisch. Financiële gegevens, zoals beleggingsrendementen, zijn echter vaak asymmetrisch, met een neiging tot positieve of negatieve uitschieters (scheefheid).
Constant gemiddelde en variantie: De normale distributie veronderstelt een constant gemiddelde en variantie. In de financiële markten fluctueert de volatiliteit echter, wat betekent dat de standaardafwijking niet statisch is. Dit maakt de normale distributie minder geschikt voor het modelleren van dynamische marktcondities.
Geen negativiteit voor prijzen: Hoewel rendementen negatief kunnen zijn, kunnen activaprijzen niet onder nul dalen. De normale distributie staat in theorie onbeperkt negatieve waarden toe, wat in de context van prijzen onrealistisch is. Daarom wordt voor prijzen vaak een log-normale distributie aangenomen, waarbij de logaritme van de prijs normaal verdeeld is.

Deze beperkingen betekenen dat analisten en beleggers zich bewust moeten zijn van de aannames en mogelijke tekortkomingen wanneer ze de normale distributie toepassen op financiële markten.

Normale Distributie vs. Scheve Verdeling

De normale distributie is perfect symmetrisch, wat betekent dat de gegevens gelijkmatig verdeeld zijn rond het gemiddelde, met evenveel waarnemingen boven als onder het gemiddelde, en de staarten even lang zijn. Het gemiddelde, de mediaan en de modus vallen samen in het exacte midden van de verdeling.

Een scheve verdeling, daarentegen, is asymmetrisch. Dit betekent dat de gegevens niet gelijkmatig zijn verdeeld rondom het centrum. Er zijn twee typen scheefheid:

Rechtsscheef (positief scheef): De "staart" van de distributie is langer aan de rechterkant, wat duidt op meer extreme positieve waarden. Het gemiddelde is groter dan de mediaan, die op zijn beurt groter is dan de modus.
Linksscheef (negatief scheef): De "staart" van de distributie is langer aan de linkerkant, wat duidt op meer extreme negatieve waarden. Het gemiddelde is kleiner dan de mediaan, die op zijn beurt kleiner is dan de modus.

In financiële contexten zijn rendementen vaak scheef verdeeld, wat betekent dat aannames van normale distributie mogelijk niet volledig accuraat zijn en tot misinterpretaties van risicobeheer kunnen leiden.

Veelgestelde Vragen

Waarom is de normale distributie zo belangrijk in financiën?

De normale distributie is belangrijk omdat het een relatief eenvoudige manier biedt om de waarschijnlijkheid van verschillende uitkomsten te modelleren, waardoor het een basis vormt voor veel financiële theorieën en modellen. Het helpt bij het schatten van risicobeheer en potentiële rendementen, hoewel de aannames ervan beperkingen hebben.

Wat betekent de standaardafwijking bij een normale distributie?

De standaardafwijking ((\sigma)) meet de spreiding van de gegevens rond het gemiddelde van een normale distributie. Een kleinere standaardafwijking betekent dat de gegevens dichter bij het gemiddelde liggen, wat minder volatiliteit of risico impliceert. Een grotere standaardafwijking duidt op een bredere spreiding en meer volatiliteit.

Wat is de 68-95-99.7-regel?

De 68-95-99.7-regel, ook bekend als de empirische regel, beschrijft welk percentage van de gegevens binnen bepaalde standaardafwijkingen van het gemiddelde valt in een normale distributie. Ongeveer 68% van de gegevens valt binnen één standaardafwijking, 95% binnen twee, en 99,7% binnen drie standaardafwijkingen. Dit biedt een snel inzicht in de verdeling van gegevens.

Kan de normale distributie worden toegepast op alle financiële gegevens?

Nee, hoewel de normale distributie vaak wordt gebruikt in financiële modellen, is het belangrijk om te erkennen dat veel financiële gegevens, zoals beleggingsrendementen, niet perfect normaal verdeeld zijn. Ze vertonen vaak "dikke staarten" (meer extreme gebeurtenissen dan verwacht) en scheefheid (asymmetrie), wat de nauwkeurigheid van modellen die uitsluitend op de normale distributie zijn gebaseerd, kan beïnvloeden.

Wat is het verband tussen de normale distributie en de Centrale Limiet Stelling?

De Centrale Limiet Stelling (CLT) is cruciaal voor de toepassing van de normale distributie. De CLT stelt dat de steekproefverdeling van het steekproefgemiddelde van een willekeurige verdeling bij een voldoende grote steekproefomvang (meestal >30) bij benadering normaal verdeeld zal zijn, ongeacht de oorspronkelijke vorm van de populatieverdeling. Dit maakt de normale distributie relevant voor statistische inferentie, zelfs wanneer de onderliggende gegevens zelf niet normaal verdeeld zijn.¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ ⁸ ⁹ ¹⁰ ¹¹ ¹² ¹³ ¹⁴ ¹⁵ ¹⁶ ¹⁷[^1³¹8^](https://academicweb.nd.edu/~rwilliam/stats1/x21.pdf)[¹⁹](https://academicweb.nd.edu/~rwilliam/stats1/x21.pdf)[²⁰](https://academicw[³⁰](https://medium.com/@will.a.sundstrom/the-origins-of-the-normal-distribution-f64e1575de29)eb.nd.edu/~rwilliam/stats1/x21.pdf)[²¹](https://academicweb.nd.edu/~rwilliam/stats1/x21.pdf)[²²](https://npokennis.nl/longread/7990/wat-[²⁹](https://math.mit.edu/~rmd/650/normalappend.pdf)hebben-we-aan-de-normale-verdeling)[²³](https://statisticsbyjim.com/basics/normal-distribution/)[²⁴]²⁸(https://academicweb.nd.edu/~rwilliam/stats1/x21.pdf)[²⁵](https://www.statlect.com/probability-distributions/normal-distribution)[²⁶](https://academicweb.nd[²⁷](https://www.statlect.com/probability-distributions/normal-distribution).edu/~rwilliam/stats1/x21.pdf)