Konvexitaet

What Is Konvexität?

Konvexität ist eine betriebswirtschaftliche Kennzahl im Finanzwesen, die die Krümmung der Preis-Rendite-Beziehung einer Anleihe misst und angibt, wie stark sich die Duration einer Anleihe ändert, wenn sich ihre Rendite ändert. Sie ist ein entscheidendes Werkzeug in der Fixed Income Analysis, einem Teilgebiet der Investmentanalyse. Während die Duration die Preissensitivität einer Anleihe gegenüber kleinen Zinsänderungen linear abbildet, erfasst die Konvexität die Nicht-Linearität dieser Beziehung. Dies bedeutet, dass Anleihekurse bei fallenden Zinssätzen stärker steigen, als sie bei steigenden Zinssätzen fallen. Eine höhere Konvexität ist für Anleger vorteilhaft, da sie ein geringeres Kursrisiko bei Zinsanstiegen und größere Kursgewinne bei Zinssenkungen impliziert.

History and Origin

Die Konzepte der Duration und Konvexität entwickelten sich aus der Notwendigkeit, das Zinsrisiko von Anleihen genauer zu erfassen. Während Frederick Macaulay bereits 1938 das Konzept der Duration zur Messung der durchschnittlichen Kapitalbindungsdauer einer Anleihe einführte, wurde schnell deutlich, dass die Duration nur eine Annäherung für kleine Zinsänderungen darstellt. Die tatsächliche Beziehu¹⁹ng zwischen Anleihepreis und Rendite ist nicht linear, sondern konvex. Die Notwendigkeit, diese Krümmung zu messen, führte zur Entwicklung der Konvexität als Kennzahl. Sie wurde zu einem unverzichtbaren Bestandteil der modernen Portfoliotheorie und des Risikomanagements im Anleihenbereich, um die Begrenzungen der Duration bei größeren Zinsänderungen zu überwinden. Die Federal Reserve Bank of San Francisco beschreibt, wie das Verständnis des Anleiherisikos im Laufe der Zeit durch die Konzepte von Duration und Konvexität verfeinert wurde, um die Empfindlichkeit von Anleihen gegenüber Zinsänderungen besser zu bewerten.

Key Takeaways

Konvexität misst die Krümmung der Preis-Rendite-Beziehung einer Anleihe und ergänzt die Duration.
Eine positive Konvexität bedeutet, dass der Anleihekurs bei fallenden Zinsen stärker steigt, als er bei steigenden Zinsen fällt.
Sie ist besonders wichtig bei großen Zinsänderungen, da die Duration hier ungenauer wird.
Anleihen mit positiver Konvexität sind für Anleger vorteilhaft, da sie bei gleichbleibender Duration ein besseres Rendite-Risiko-Profil aufweisen.
Bestimmte Anleihetypen, wie kündbare Anlei¹⁷, ¹⁸hen, können negative Konvexität aufweisen.

Formula and Calculation

Die Konvexität einer Anleihe wird mathematisch als die zweite Ableitung des Anleihepreises nach der Rendite dividiert durch den Anleihepreis berechnet.

Die allgemeine Formel für die approximierte Konvexität (oft als modifizierte Konvexität bezeichnet) lautet:

\text{Konvexität} = \frac{1}{P \cdot (1+y)^2} \sum_{t=1}^{N} \frac{\text{CF}_t}{(1+y)^t} \cdot (t^2 + t)

Alternativ kann die Konvexität auch über Preisänderungen ausgedrückt werden:

\text{Konvexität} = \frac{P_- + P_+ - 2P_0}{2 \cdot P_0[^16^](https://www.iotafinance.com/de/Formel-Konvexitaet-einer-Anleihe.html) \cdot (\Delta y)^2}

Wobei:

(P_0) = Aktueller Anleihekurs
(P_-) = Anleihekurs bei einer Zinsabnahme
(P_+) = Anleihekurs bei einer Zinszunahme
(\Delta y) = Die Änderung der Rendite (in Dezimalform)
(\text{CF}_t) = Cashflow (Kuponzahlung oder Tilgung) zum Zeitpunkt (t)
(y) = Rendite bis zur Fälligkeit (Yield to Maturity) in Dezimalform
(N) = Anzahl der Perioden bis zur Fälligkeit

Die Formel zur Konvexitätsanpassung des Preises, die die von der Duration verursachten Approximationsfehler korrigiert, lautet:

\text{Preisänderung} \approx - \text{Duration} \cdot \Delta y[^15^](https://www.iotafinance.com/de/Formel-Konvexitaetsanpassung.html) \cdot P_0 + \frac{1}{2} \cdot \text{Konvexität} \cdot (\Delta y)^2 \cdot P_0

Interpreting the Konvexität

Die Interpretation der Konvexität ist entscheidend für das Verständnis des Zinsrisikos einer Anleihe. Bei Standardanleihen ist die Konvexität in der Regel positiv. Eine positive Konvexität bedeutet, dass die Anleihe bei einem Rückgang der Zinssätze stärker im Preis steigt, als sie bei einem gleich großen Anstieg der Zinssätze fällt. Dies bietet Anlegern einen Vorteil: Sie profitieren überproportional von fallenden Zinsen und sind bei steigenden Zinsen besser geschützt, da die Kursverluste geringer ausfallen als die möglichen Gewinne. Eine höhere Konvexität ist wünschenswert, da sie das Kursrisiko mindert und die Chancen auf Kursgewinne erhöht. Die Konvexität wird oft in Verbindung mit der Duration betrachtet, um die Preisänderung von Anleihen bei unterschiedlichen Zinsentwicklungen genauer zu prognostizieren.

Hypothetical Example

Angenommen, Sie halten eine Anleihe mit einem aktuellen Kurs ¹³von 1.000 Euro und einer Duration von 5 Jahren. Die berechnete Konvexität beträgt 30.

Szenario 1: Die Rendite der Anleihe fällt um 100 Basispunkte (1 %).

Prognostizierte Preisänderung durch Duration: (-5 \times (-0,01) \times 1000 = +50) Euro.
Anpassung durch Konvexität: (0,5 \times 30 \times (-0,01)^2 \times 1000 = 0,5 \times 30 \times 0,0001 \times 1000 = +1,5) Euro.
Gesamte prognostizierte Preisänderung: (50 + 1,5 = +51,5) Euro.
Neuer Anleihekurs: (1000 + 51,5 = 1051,5) Euro.

Szenario 2: Die Rendite der Anleihe steigt um 100 Basispunkte (1 %).

Prognostizierte Preisänderung durch Duration: (-5 \times 0,01 \times 1000 = -50) Euro.
Anpassung durch Konvexität: (0,5 \times 30 \times (0,01)^2 \times 1000 = 0,5 \times 30 \times 0,0001 \times 1000 = +1,5) Euro.
Gesamte prognostizierte Preisänderung: (-50 + 1,5 = -48,5) Euro.
Neuer Anleihekurs: (1000 - 48,5 = 951,5) Euro.

Wie das Beispiel zeigt, führt die positive Konvexität dazu, dass der Kursgewinn bei fallenden Zinsen größer ist als der Kursverlust bei steigenden Zinsen, was den Anlegern zugutekommt.

Practical Applications

Konvexität ist ein unverzichtbares Instrument im Portfoliomanagement und in der Anleihenbewertung. Sie wird von professionellen Anlegern genutzt, um das Zinsrisiko in ihren Anleihenportfolios präzise zu steuern. Durch die Analyse der Konvexität können Portfoliomanager Anleihen auswählen, die bei Zinsänderungen vo¹²rteilhafter reagieren, was die Volatilität des Portfolios reduzieren kann.

Im Bereich des Risikomanagements hilft die Konvexität ¹¹dabei, die tatsächliche Anfälligkeit eines Portfolios gegenüber größeren Zinsbewegungen zu bewerten, die von der reinen Duration unterschätzt werden könnte. Für Anleihen mit eingebetteten Optionen, wie beispielsweise kündbare Anleihen oder Optionsscheine, ist die Konvexität besonders wichtig. Diese Instrumente können eine nicht-Standard-Preis-Rendite-Beziehung aufweisen, die sogar zu einer negativen Konvexität führen kann, was für Anleger nachteilig ist. Finanzinstitute nutzen Konvexität, um die Empfindlichkeit ihrer Anleihenbestände gegenüber Zinsschwankungen zu messen und ihre Hedging-Strategien zu optimieren. Laut Capital Group ist das Verständnis der Konvexität grundlegend für Anleiheinvestoren, um die Bewegung der Anleihepreise als Reaktion auf Zinsänderungen besser zu verstehen. Darüber hinaus wird Konvexität bei der Bewertung komplexer Derivate eingesetzt, die vo⁹n Zinsbewegungen abhängen.

Ein weiteres praktisches Anwendungsfeld ist die Analyse von Callable Bonds, bei denen der Emittent das Recht hat, die Anleihe vorzeitig zurückzuzahlen. Für solche Anleihen kann die Konvexität negativ sein, insbesondere wenn die Zinsen unter den Kupon der Anleihe fallen. In diesem Fall kann der Anleihekurs nach oben begrenzt sein, da der Emittent die Anleihe wahrscheinlich kündigen wird. Fidelity bietet eine Erklärung zur Konvexität von Callable Bonds und deren Auswirkungen auf die Wertentwicklung.

Limitations and Criticisms

Obwohl die Konvexität eine wesentliche Verbesserung gegenüber der alleinigen Verwendung der Duration darstellt, hat auch sie ihre Grenzen. Die Formel für die Konvexität basiert auf der Annahme, dass die Zinskurve parallel verschoben wird. In der Realität ändern sich verschiedene Punkte der Zinskurve jedoch oft unterschiedlich (Verwindungen der Zinskurve), was die Genauigkeit der Konvexitätsberechnung beeinträchtigen kann.

Ein weiterer Kritikpunkt ist, dass die Standardkonvexität die Auswirkungen von Kreditrisiko oder L⁷iquiditätsproblemen nicht berücksichtigt. Sie konzentriert sich ausschließlich auf das Zinsrisiko. Darüber hinaus kann die Berechnung der Konvexität für Anleihen mit komplexen Merkmalen wie eingebetteten Optionen (z. B. kündbare Anleihen oder Put-Optionen) kompliziert werden, da ihr Verhalten nicht immer einer idealen konvexen Kurve folgt. Für diese Anleihen wird oft die "Effektive Konvexität" verwendet, die numerische Methoden zur Berücksichtigung dieser eingebetteten Optionen einsetzt. Franklin Templeton diskutiert die Bedeutung der effektiven Duration und Konvexität für komplexere Anleihen, um deren tatsächliches Zinsrisiko besser zu erfassen. Bei der Bewertung von Anleihen mit geringen Kupons oder sehr langen Laufzeiten kann die Konvexität extrem hoch sein, ⁶was die Interpretation erschwert und möglicherweise weitere Analysetools erfordert.

Konvexität vs. Duration

Konvexität und Duration sind beides Schlüsselkennzahlen in der Fixed Income Analysis, die die Empfindlichkeit des Anleihekurses gegenüber Änderungen der Zinssätze messen, jedoch auf unterschiedlichen Ebenen.

Die Duration ist ein Maß für die Preissensitivität einer Anleihe gegenüber kleinen Zinsänderungen. Sie gibt die geschätzte prozentuale Preisänderung einer Anleihe für eine 1 %ige Änderung der Rendite an und unterstellt eine lineare Beziehung zwischen Anleihekurs und Rendite. Je höher die Duration, desto empfindlicher reagiert der Anleihekurs auf Zinsänderungen. Die Duration kann auch als gewichtete durchschnittliche Laufzeit der Cashflows einer Anleih⁵e verstanden werden.

Die Konvexität hingegen misst die Krümmung dieser Preis-Rendite-Beziehung. Sie ist eine "Korrekturgröße" zur Duration und berücksichtigt, dass die Beziehung nicht linear ist. Während die Duration bei kleinen Zinsänderungen eine gute Annäherung liefert, wird sie bei größeren Zinsbewegungen ungenau. Die Konvexität korrigiert diese Ungenauigkeit: Bei fallenden Zinsen steigt der Anleihekurs stärker, als die Duration vorhersagt, und bei steigenden Zinsen fällt der Kurs weniger stark. Dies bedeutet, dass eine Anleihe mit positiver Konvexität bei Zinsrückgängen überproportional profitiert und bei Zinsanstiegen weniger stark leidet, als es die lineare Duration vermuten lässt. Die Konvexität ist somit ein Maß für die Rate, mit der sich die Duration selbst ändert.

Zusammenfassend ist die Duration die erste Ableitung der Preis-Rendite-Funktion und misst die Steigung, während die Konvexität die zweite Ableitung darstellt und die Krümmung misst.

FAQs

Was bedeutet positive Konvexität?

Positive Konvexität bedeutet, dass der Preis einer Anleihe bei fallenden Zinssätzen stärker steigt, als er bei einem gleich großen Anstieg der Zinssätze fällt. Dies ist für Anleger vorteilhaft, da es die Renditechancen bei fallenden Zinsen erhöht und die Verluste bei steigenden Zinsen minimiert.

Kann Konvexität nega⁴tiv sein?

Ja, Konvexität kann negativ sein. Dies tritt typischerweise bei Anleihen mit eingebetteten Optionen auf, wie zum Beispiel kündbaren Anleihen (Callable Bonds). Wenn der Anleihekurs aufgrund fallender Zinsen einen bestimmten Punkt erreicht, kann der Emittent die Anleihe zurückrufen, wodurch der Preis nach oben begrenzt wird und die Konvexität negativ wird. Für Anleger ist eine negative Konvexität in der Regel ungünstig.

Warum ist Konvexität wichtig für Anleger?

Konvexität ist für Anleger wichtig, da sie eine präzisere Schätzung der Preisänderung einer Anleihe bei großen Zinsänderungen ermöglicht, im Gegensatz zur alleinigen Verwendung der Duration. Sie hilft bei der Bewertung des Risikomanagements und der Auswahl von Anleihen, die bei erwarteten Zinsbewegungen ein vorteilhafteres Profil aufweisen. Eine höhere positive Konvexitä³t bietet einen "Puffer" gegen steigende Zinsen und verstärkt die Gewinne bei fallenden Zinsen.

Welche Faktoren beeinflussen die Konvexität einer Anleihe?

Die Konvexität einer Anleihe wird von mehreren Faktoren beeinflusst, darunter die Laufzeit der Anleihe, der Kuponsatz und die aktuelle Rendite bis zur Fälligkeit. Generell gilt: Je länger die Laufzeit und je niedriger der Kuponsatz einer Anleihe, desto höher ist ihre positive Konvexität. Auch das Vorhandensein von eingebetteten Optionen kann die Konvexität erheblich beeinflussen, möglicherweise sogar ²ins Negative umkehren.¹