Standaardafwijkingen

Wat is Standaardafwijkingen?

Standaardafwijkingen, een fundamentele maatstaf binnen de portfoliotheorie en investeringsanalyse, kwantificeren de mate van volatiliteit of spreiding van een dataset rond het gemiddelde. In de financiële wereld wordt standaardafwijking vaak gebruikt als een proxy voor risico, omdat het de mate van fluctuatie in de rendementen van een investering over een bepaalde periode weergeeft. Een hogere standaardafwijking duidt op een grotere spreiding van de rendementen en daarmee op een hoger risico, terwijl een lagere standaardafwijking minder spreiding en dus minder risico impliceert. Het begrijpen van standaardafwijkingen is cruciaal voor beleggers die streven naar een effectief risicobeheer.

Geschiedenis en Oorsprong

Het concept van standaardafwijkingen heeft zijn wortels in de statistiek, waar het in 1893 formeel werd geïntroduceerd door Karl Pearson. De toepassing ervan in de financiële wereld kreeg echter een enorme impuls met de ontwikkeling van de moderne portfoliotheorie (MPT). In 1952 publiceerde econoom Harry Markowitz zijn baanbrekende artikel "Portfolio Selection" in The Journal of Finance. Ma¹¹rkowitz introduceerde de standaardafwijking als een kwantitatieve maatstaf voor het risico van een beleggingsportefeuille. Zijn werk toonde aan dat beleggers portefeuilles kunnen samenstellen die een maximaal verwacht rendement opleveren voor een gegeven risiconiveau, of een minimaal risico voor een gewenst rendement, door de diversificatie van activa en de correlatie tussen hun rendementen te overwegen. Deze benadering legde de basis voor het kwantificeren van risico en rendement in portefeuilles en leidde uiteindelijk tot een Nobelprijs voor Economie voor Markowitz in 1990.

#¹⁰# Belangrijkste Punten

• Standaardafwijkingen meten de spreiding van data rond het gemiddelde, vaak gebruikt om volatiliteit in financiële rendementen uit te drukken.
• Een hogere standaardafwijking betekent een grotere variabiliteit in rendementen en wordt geassocieerd met een hoger risico.
• Het is een hoeksteen van de moderne portfoliotheorie voor het kwantificeren en beheren van portfoliorisico.
• Beperkingen omvatten de aanname van een normale distributie en het gelijk behandelen van opwaartse en neerwaartse volatiliteit.
• Standaardafwijkingen worden gebruikt in verschillende financiële berekeningen, waaronder de Sharpe Ratio en Value-at-Risk.

Formule en Berekening

De standaardafwijking is de vierkantswortel van de variantie. Voor een populatie van gegevenspunten ((x_i)) met een populatiegemiddelde (\mu), wordt de populatie standaardafwijking ((\sigma)) berekend als:

$\sigma = \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i - \mu)^2}$

Waarbij:

• (N) = het totale aantal gegevenspunten in de populatie
• (x_i) = elk individueel gegevenspunt
• (\mu) = het populatiegemiddelde van de gegevenspunten

Voor een steekproef van gegevenspunten ((x_i)) met een steekproefgemiddelde (\bar{x}), wordt de steekproefstandaardafwijking ((s)) berekend als:

$s = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}$

Waarbij:

• (n) = het aantal gegevenspunten in de steekproef
• (x_i) = elk individueel gegevenspunt
• (\bar{x}) = het steekproefgemiddelde van de gegevenspunten

De factor (n-1) in de steekproefformule (Bessel's correctie) wordt gebruikt om een minder vertekende schatting van de populatie standaardafwijking te verkrijgen, aangezien het gemiddelde van een steekproef vaak dichter bij de steekproefpunten ligt dan bij het ware populatiegemiddelde.

Interpreteren van Standaardafwijkingen

Standaardafwijkingen bieden inzicht in de verwachte spreiding van rendementen. Een investering met een standaardafwijking van 15% betekent dat de jaarlijkse rendementen naar verwachting binnen een bandbreedte van 15% boven of onder het gemiddelde rendement zullen liggen. In de context van een normale distributie, ligt ongeveer 68% van de rendementen binnen één standaardafwijking van het gemiddelde, en ongeveer 95% binnen twee standaardafwijkingen. Dit helpt beleggers om de waarschijnlijkheid van verschillende uitkomsten te beoordelen en hun risicotolerantie af te stemmen op de verwachte volatiliteit. Een belegging met een lage standaardafwijking, zoals staatsobligaties, wordt over het algemeen als minder risicovol beschouwd dan een belegging met een hoge standaardafwijking, zoals aandelen van groeisector.

Hypothetisch Voorbeeld

Stel dat een belegger twee fondsen overweegt: Fonds A en Fonds B. Beide fondsen hadden over de afgelopen vijf jaar een gemiddeld jaarlijks rendement van 8%. De historische jaarlijkse rendementen zijn als volgt:

• Fonds A: 10%, 6%, 8%, 9%, 7%
• Fonds B: 20%, -5%, 12%, 3%, 16%

Berekening voor Fonds A:

1. Gemiddelde rendement (\bar{x}_A = (10+6+8+9+7)/5 = 8%)
2. Afwijkingen van het gemiddelde: ((10-8)^2=4), ((6-8)^2=4), ((8-8)^2=0), ((9-8)^2=1), ((7-8)^2=1)
3. Som van de gekwadrateerde afwijkingen = (4+4+0+1+1 = 10)
4. Variantie (s^2_A = 10 / (5-1) = 10 / 4 = 2.5)
5. Standaardafwijking (s_A = \sqrt{2.5} \approx 1.58%)

Berekening voor Fonds B:

1. Gemiddelde rendement (\bar{x}_B = (20-5+12+3+16)/5 = 8%)
2. Afwijkingen van het gemiddelde: ((20-8)^2=144), ((-5-8)^2=169), ((12-8)^2=16), ((3-8)^2=25), ((16-8)^2=64)
3. Som van de gekwadrateerde afwijkingen = (144+169+16+25+64 = 418)
4. Variantie (s^2_B = 418 / (5-1) = 418 / 4 = 104.5)
5. Standaardafwijking (s_B = \sqrt{104.5} \approx 10.22%)

Hoewel beide fondsen hetzelfde gemiddelde rendement hebben, toont de standaardafwijking aan dat Fonds B (10.22%) aanzienlijk volatieler is dan Fonds A (1.58%). Een belegger die risicobeheer prioriteit geeft, zou waarschijnlijk de voorkeur geven aan Fonds A vanwege de lagere volatiliteit.

Praktische Toepassingen

Standaardafwijkingen zijn alomtegenwoordig in de financiële wereld en worden op diverse manieren toegepast:

• Portfolioconstructie: In de moderne portfoliotheorie wordt standaardafwijking gebruikt om de risico-rendementafweging van verschillende asset-allocatie strategieën te visualiseren via de efficiënte grens. Beleggers kunnen hiermee de optimale portefeuille samenstellen die het hoogste rendement biedt voor een acceptabel risiconiveau, of het laagste risico voor een gewenst rendement.
• Risicometing en Vergelijking: Financiële analisten en vermogensbeheerders gebruiken standaardafwijkingen om de historische volatiliteit van individuele effecten, zoals aandelen en obligaties, of hele portefeuilles te meten en te vergelijken. Dit helpt beleggers om de risico's van verschillende investeringsmogelijkheden te beoordelen.
• Prestatiemaatstaven: De Sharpe Ratio, een veelgebruikte maatstaf voor risicogecorrigeerd rendement, gebruikt de standaardafwijking van het portefeuille rendement als de maatstaf voor risico.
• Regelgeving en Compliance: Toezichthouders en financiële instellingen gebruiken standaardafwijkingen vaak in hun risicomodellen en openbaarmakingsvereisten. Bedrijven moeten bijvoorbeeld hun blootstelling aan marktrisico's kwantificeren, en de Amerikaanse Securities and Exchange Commission (SEC) vereist openbaarmakingen over marktrisicogevoelige instrumenten, waarbij methoden zoals Value-at-Risk (VaR) vaak gebruikmaken van standaardafwijkingen om potentiële verliezen te schatten.
• [Kapita⁹alallocatie](https://diversification.com/term/kapitaal-allocatie): Standaardafwijkingen informeren beslissingen over de verdeling van kapitaal over verschillende activa, waarbij het doel is om een portefeuille te creëren die voldoet aan de risicotolerantie van de belegger. Een goed gediversifieerde portefeuille kan vaak een lager gecombineerd risico hebben dan de som van de individuele activarisico's, zoals ook benadrukt wordt in de beleggingsfilosofie die stelt dat diversificatie risico kan helpen verminderen.

Beperkinge⁸n en Kritiekpunten

Hoewel standaardafwijkingen een veelgebruikte en intuïtieve maatstaf voor risico zijn, kennen ze belangrijke beperkingen:

• Aanname van Normale Distributie: De interpretatie van standaardafwijkingen is het meest accuraat wanneer de rendementen een normale distributie volgen. Financiële rendementen vertonen echter vaak "dikke staarten" (meer extreme gebeurtenissen dan verwacht onder een normale distributie) en skewness (asymmetrie), wat de nauwkeurigheid van de standaardafwijking als risicomaatstaf kan verminderen.
• Gelijke Be⁷handeling van Opwaartse en Neerwaartse Volatiliteit: Standaardafwijkingen behandelen zowel positieve als negatieve afwijkingen van het gemiddelde gelijk. Dit betekent dat onverwacht hoge rendementen ("goede" volatiliteit) op dezelfde manier worden gewaardeerd als onverwacht lage rendementen ("slechte" volatiliteit). Voor beleggers is het risico van verliezen echter doorgaans veel relevanter dan het risico van onverwachte winsten. Critici stellen dat dit een fundamentele tekortkoming is voor het meten van het werkelijke risico zoals een belegger dat ervaart.
• Gevoelighe⁶id voor Uitschieters: Extreme waarden, zoals plotselinge marktdalingen of -stijgingen, kunnen de standaardafwijking aanzienlijk beïnvloeden, waardoor deze een vertekend beeld kan geven van de typische variabiliteit van rendementen.
• Momentum en Clustering: Standaardafwijkingen houden geen rekening met de mogelijkheid van volatiliteitsclustering, waarbij periodes van hoge volatiliteit de neiging hebben om gevolgd te worden door andere periodes van hoge volatiliteit. Deze dynamiek, die vaak voorkomt in financiële tijdreeksen, wordt niet adequaat vastgelegd door een enkele standaardafwijking.
• Beperkt Vooruitzicht: De standaardafwijking is een historische maatstaf en voorspelt niet noodzakelijkerwijs toekomstige volatiliteit.

Standaardafwijkingen vs. Variantie

Hoewel vaak in dezelfde context gebruikt, zijn standaardafwijkingen en variantie verschillende, maar nauw verwante, maatstaven voor spreiding. De variantie is het gemiddelde van de gekwadrateerde afwijkingen van het gemiddelde. Standaardafwijkingen zijn simpelweg de positieve vierkantswortel van de variantie. Het belangrijkste verschil ligt in hun interpreteerbaarheid: variantie wordt uitgedrukt in gekwadrateerde eenheden, wat de directe praktische toepassing ervan bemoeilijkt. Standaardafwijkingen daarentegen worden uitgedrukt in dezelfde eenheden als de oorspronkelijke gegevens (bijvoorbeeld procenten voor rendementen), waardoor ze veel intuïtiever zijn voor het beoordelen van de omvang van de spreiding of het risico. Hierdoor is de standaardafwijking de voorkeursmaatstaf voor volatiliteit in financiële analyse, ondanks dat de variantie een essentiële tussenstap is in de berekening. De Beta van een aandeel, een andere veelvoorkomende risicomaatstaf, relateert de volatiliteit van een individueel aandeel aan die van de algehele markt, terwijl standaardafwijking de absolute volatiliteit meet.

Veelgestelde Vragen

1. Wat is het verschil tussen standaardafwijking en risico?

Standaardafwijking is een statistische maatstaf die de historische volatiliteit of spreiding van rendementen aangeeft. In de financiële wereld wordt het breed gebruikt als een proxy voor risico, waarbij een hogere standaardafwijking doorgaans een hoger risico op variabele rendementen betekent. Risico is echter een breder concept dat ook de mogelijkheid van kapitaalverlies, operationele risico's en liquiditeitsrisico's omvat, die niet allemaal direct door standaardafwijkingen worden gekwantificeerd.

2. Kan een portefeuille een standaardafwijking van nul hebben?

Een portefeuille kan een standaardafwijking van bijna nul hebben als deze bestaat uit risicovrije activa, zoals kortlopende schatkistpapieren. Voor portefeuilles die bestaan uit risicovolle activa (zoals aandelen en obligaties), is een standaardafwijking van precies nul onrealistisch, tenzij de rendementen perfect negatief gecorreleerd zijn, wat in de praktijk zelden voorkomt. Het doel van diversificatie is om de standaardafwijking van de portefeuille te minimaliseren voor een bepaald rendementsniveau, door activa te combineren die niet perfect met elkaar correleren.

3. Hoe beïnvloedt de standaardafwijking mijn beleggingsbeslissingen?

De standaardafwijking helpt beleggers de verwachte volatiliteit van een investering te begrijpen en te beoordelen of deze overeenkomt met hun risicotolerantie. Beleggers die een laag risico wensen, zullen doorgaans de voorkeur geven aan investeringen met een lagere standaardafwijking. Degenen die bereid zijn meer risico te nemen voor potentieel hogere rendementen, kunnen kiezen voor investeringen met een hogere standaardafwijking. Het is een cruciaal hulpmiddel bij het samenstellen van een gebalanceerde asset-allocatie die past bij individuele financiële doelen en voorkeuren.¹²³⁴⁵