Varianz

What Is Varianz?

Varianz (Variance) ist in der Finanzstatistik und Portfoliotheorie ein fundamentales Maß für die Streuung oder Dispersion einer Menge von Datenpunkten um ihren Durchschnitt. Sie quantifiziert, wie weit die einzelnen Werte typischerweise vom Erwartungswert abweichen. Im Kontext von Investitionen wird Varianz häufig als Indikator für Risiko oder Volatilität verwendet, wobei eine höhere Varianz auf eine größere Schwankungsbreite der Renditen hinweist. Sie ist das Quadrat der Standardabweichung und dient als mathematische Grundlage für viele fortschrittliche Finanzmodelle.

History and Origin

Das Konzept der Varianz wurde ursprünglich als statistisches Maß von Wissenschaftlern wie Karl Pearson im späten 19. und frühen 20. Jahrhundert formalisiert. Ihre zentrale Bedeutung in der Finanzwelt erlangte die Varianz jedoch maßgeblich durch die Arbeit des Ökonomen Harry Markowitz. In seinem 1952 veröffentlichten Artikel "Portfolio Selection" führte Markowitz die Varianz als primäres Maß für das Risiko eines Portfolios ein. Seine bahnbrechenden Ideen legten den Grundstein für die Moderne Portfoliotheorie (MPT), die darauf abzielt, die Rendite für ein gegebenes Risiko zu maximieren. Markowitz wurde 1990 für seine Nobel Prize-winning work in diesem Bereich mit dem Nobelgedächtnispreis für Wirtschaftswissenschaften ausgezeichnet.

Key Takeaways

• Varianz ist ein statistisches Maß für die Streuung von Datenpunkten um den Durchschnitt.
• Im Finanzwesen dient Varianz als gängiger Indikator für das Risiko oder die Volatilität einer Anlageinstruments oder eines Portfolios.
• Eine höhere Varianz impliziert eine größere Schwankungsbreite der potenziellen Renditen.
• Sie ist die Grundlage der Modernen Portfoliotheorie und maßgeblich für das Portfoliomanagement.
• Die Varianz ist das Quadrat der Standardabweichung.

Formula and Calculation

Die Varianz wird berechnet, indem der Durchschnitt der quadrierten Abweichungen jedes Datenpunkts vom Durchschnitt ermittelt wird. Es gibt zwei Hauptformeln für die Varianz: eine für die Grundgesamtheit (Bevölkerungsvarianz) und eine für eine Stichprobe (Stichprobenvarianz).

Grundgesamtheit (Bevölkerungsvarianz):

$\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{N} (x_i - \mu)^2}{N}$

Dabei gilt:

• (\sigma^2) = Varianz der Grundgesamtheit
• (x_i) = Jeder einzelne Datenpunkt
• (\mu) = Der Durchschnitt (Mittelwert) der Grundgesamtheit
• (N) = Die Gesamtzahl der Datenpunkte in der Grundgesamtheit
• (\sum) = Summenzeichen

Stichprobe (Stichprobenvarianz):

$s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n-1}$

Dabei gilt:

• (s^2) = Varianz der Stichprobe
• (x_i) = Jeder einzelne Datenpunkt in der Stichprobe
• (\bar{x}) = Der Durchschnitt (Mittelwert) der Stichprobe
• (n) = Die Gesamtzahl der Datenpunkte in der Stichprobe
• (\sum) = Summenzeichen

Für die Stichprobenvarianz wird durch (n-1) dividiert, um eine "unverzerrte" Schätzung der tatsächlichen Populationsvarianz zu erhalten, da eine Stichprobe die wahre Streuung einer Grundgesamtheit tendenziell unterschätzt.

Interpreting the Varianz

Die Varianz gibt Aufschluss über die Streubreite der Renditen eines Anlageinstruments oder eines Portfolios. Eine höhere Varianz bedeutet, dass die einzelnen Renditen tendenziell weiter vom Erwartungswert abweichen, was auf eine größere Unsicherheit oder ein höheres Risiko hindeutet. Umgekehrt bedeutet eine geringere Varianz, dass die Renditen näher am Durchschnitt liegen, was auf mehr Stabilität und geringeres Risiko schließen lässt. Da die Varianz in quadrierten Einheiten der ursprünglichen Daten vorliegt (z. B. "Prozent im Quadrat"), ist sie oft weniger intuitiv zu interpretieren als die Standardabweichung, welche dieselben Einheiten wie die Daten selbst verwendet.

Hypothetical Example

Angenommen, Sie vergleichen zwei fiktive Aktien, Aktie A und Aktie B, über einen Zeitraum von fünf Jahren mit den folgenden jährlichen Renditen:

• Aktie A: 10 %, 12 %, 8 %, 11 %, 9 %
• Aktie B: 20 %, -5 %, 30 %, 2 %, 13 %

Schritt 1: Durchschnittliche Rendite berechnen ((\bar{x}))

• Aktie A: ((10+12+8+11+9) / 5 = 50 / 5 = 10%)
• Aktie B: ((20-5+30+2+13) / 5 = 60 / 5 = 12%)

Schritt 2: Abweichungen vom Durchschnitt quadrieren

• Aktie A:
  • ((10-10)^2 = 0)
  • ((12-10)^2 = 4)
  • ((8-10)^2 = 4)
  • ((11-10)^2 = 1)
  • ((9-10)^2 = 1)
  • Summe der quadrierten Abweichungen: (0+4+4+1+1 = 10)
• Aktie B:
  • ((20-12)^2 = 64)
  • ((-5-12)^2 = 289)
  • ((30-12)^2 = 324)
  • ((2-12)^2 = 100)
  • ((13-12)^2 = 1)
  • Summe der quadrierten Abweichungen: (64+289+324+100+1 = 778)

Schritt 3: Varianz berechnen (Stichprobenvarianz, da es sich um eine Stichprobe von 5 Jahren handelt, also (n-1=4))

• Varianz Aktie A: (10 / (5-1) = 10 / 4 = 2.5)
• Varianz Aktie B: (778 / (5-1) = 778 / 4 = 194.5)

Obwohl Aktie B eine höhere durchschnittliche Rendite von 12 % gegenüber 10 % bei Aktie A aufweist, ist ihre Varianz (194.5) signifikant höher als die von Aktie A (2.5). Dies bedeutet, dass die Renditen von Aktie B viel stärker schwanken und daher ein höheres Risiko aufweisen als die von Aktie A, die über einen viel konsistenteren Performance verfügt.

Practical Applications

Varianz findet in der Finanzwelt breite Anwendung:

• Portfoliokonstruktion: Im Portfoliomanagement ist die Varianz ein Kernbestandteil der Modernen Portfoliotheorie. Sie hilft Anlegern, Portfolios mit der optimalen Balance aus Risiko und Rendite zu konstruieren, indem sie die Varianz einzelner Anlageinstrumente und deren Korrelationen berücksichtigt, um die Portfoliovarianz zu minimieren oder eine bestimmte Effizienzgrenze zu erreichen.
• Risikomanagement: Finanzinstitute verwenden Varianz (und ihre Wurzel, die Standardabweichung) zur Messung und Überwachung von Marktrisiken. Regulierungsbehörden, wie die U.S. Securities and Exchange Commission (SEC), verlangen von Unternehmen die Offenlegung von Informationen über Marktrisiken, einschließlich quantitativer und qualitativer Daten, die auf Maßen wie der Varianz basieren können. Dies spiegelt sich in den SEC's disclosure requirements für börsennotierte Unternehmen wider. Risikoindikatoren und Volatilität sind ebenfalls Bestandteil der Bewertung der Finanzstabilität, wie sie beispielsweise durch die Federal Reserve untersucht wird.
• Derivatebewertung: Modelle zur Bewertung von Optionen und anderen Derivaten, wie das Black-Scholes-Modell, nutzen Volatilität (und somit Varianz) als wichtigen Input-Parameter.
• Performance-Messung: Bei der Bewertung der Performance von Fonds oder Portfoliomanagern werden risikobereinigte Kennzahlen wie die Sharpe Ratio verwendet, die die Standardabweichung (die Wurzel der Varianz) in ihre Berechnung einbeziehen.

Limitations and Criticisms

Obwohl die Varianz ein weit verbreitetes Maß für das Risiko ist, weist sie mehrere wichtige Einschränkungen auf:

• Symmetrische Behandlung von Abweichungen: Varianz behandelt positive und negative Abweichungen vom Durchschnitt gleichermaßen. Für Anleger ist jedoch in der Regel nur das Abwärtsrisiko (negative Abweichungen) relevant, während positive Abweichungen als wünschenswert angesehen werden. Die Varianz macht hier keinen Unterschied, was in academic discussions über alternative Risikomaße häufig kritisiert wird.
• Annahme der Normalverteilung: Viele Finanzmodelle, die Varianz als Risikomaß verwenden, gehen implizit von normalverteilten Renditen aus. In der Realität weisen Finanzrenditen jedoch häufig "fette Enden" auf, d.h. extreme Ereignisse treten häufiger auf als bei einer Normalverteilung. Dies kann die Aussagekraft der Varianz als umfassendes Risikomaß einschränken.
• Mangelnde Intuition: Da die Varianz in quadrierten Einheiten der ursprünglichen Daten ausgedrückt wird, ist sie für Nicht-Statistiker oft schwer zu interpretieren. Die Standardabweichung ist hier intuitiver, da sie in den gleichen Einheiten wie die ursprünglichen Daten gemessen wird.
• Sensitivität gegenüber Ausreißern: Einzelne extreme Datenpunkte (Ausreißer) können die Varianz erheblich beeinflussen und somit ein verzerrtes Bild des tatsächlichen Risikos vermitteln.
• Keine kausale Aussage: Die Varianz misst lediglich die Streuung, aber nicht die Ursachen dieser Streuung oder die zugrunde liegenden Beta- oder Alpha-Faktoren.

Varianz vs. Standardabweichung

Varianz und Standardabweichung sind eng verwandte Konzepte, die beide die Streuung von Daten messen. Der Hauptunterschied besteht darin, dass die Varianz das Quadrat der Standardabweichung ist.

Die Varianz ist oft bequemer für mathematische Berechnungen in der [Kapitalmarkttheorie], während die Standardabweichung für die praktische Risikokommunikation und -interpretation bevorzugt wird, da sie ein direktes Maß für die Volatilität darstellt. Die Standardabweichung quantifiziert die durchschnittliche Entfernung der Datenpunkte vom Mittelwert in der Originaleinheit und wird daher häufiger als direktes Risikomaß genannt.

FAQs

Ist eine hohe Varianz immer schlecht?

Nicht unbedingt. Eine hohe Varianz bedeutet zwar ein höheres Risiko oder höhere Volatilität, aber sie kann auch mit dem Potenzial für höhere Renditen verbunden sein. Das Ziel des Portfoliomanagements ist es, ein Gleichgewicht zwischen Risiko und erwarteter Rendite zu finden, oft durch Diversifikation.

Kann die Varianz negativ sein?

Nein, die Varianz kann niemals negativ sein. Da sie als Summe der quadrierten Abweichungen berechnet wird und Quadrate immer nicht-negativ sind, ist die Varianz immer größer oder gleich Null. Eine Varianz von Null würde bedeuten, dass alle Datenpunkte identisch sind und keine Streuung vorliegt.

Wie wird Varianz in der Diversifikation verwendet?

Bei der Diversifikation zielt man darauf ab, die Varianz des Gesamtportfolios zu reduzieren, indem man Anlageinstrumente wählt, deren Renditen nicht perfekt positiv korreliert sind. Durch die Kombination von Vermögenswerten, die sich unterschiedlich verhalten, können die Schwankungen der einzelnen Vermögenswerte im Portfolio ausgeglichen werden, was zu einer geringeren Gesamtvarianz und damit einem geringeren Risiko des Portfolios führt.