Binomialoptionsmodell

Was ist das Binomialoptionsmodell?

Das Binomialoptionsmodell ist ein numerisches Verfahren zur Optionsbewertung, das den Wert einer Optionen schätzt, indem es die möglichen zukünftigen Kursentwicklungen des zugrunde liegenden Underlying-Asset über eine Reihe diskreter Zeitschritte modelliert. Es gehört zu den grundlegenden Finanzmodelle und basiert auf der Annahme, dass der Preis des Basiswerts in jedem Zeitschritt nur zwei mögliche Bewegungen ausführen kann: entweder nach oben oder nach unten. Diese binäre Bewegung erzeugt einen "Binomialbaum" von möglichen zukünftigen Preispfaden bis zum Verfallsdatum der Option. Am Verfallsdatum werden die Optionswerte an jedem Endknoten des Baums bestimmt und anschließend schrittweise rückwärts zum aktuellen Zeitpunkt abgezinst, um den fairen Wert der Option zu ermitteln.

Geschichte und Herkunft

Das Binomialoptionsmodell wurde 1979 von John C. Cox, Stephen A. Ross und Mark Rubinstein in ihrem wegweisenden Papier „Option Pricing: A Simplified Approach“ vorgestellt. Vor dieser Entwi⁶cklung waren Optionspreismodelle oft komplex und schwer zugänglich. Das Modell von Cox, Ross und Rubinstein bot eine intuitivere und rechnerisch weniger anspruchsvolle Methode zur Bewertung von Derivate, insbesondere im Vergleich zu kontinuierlichen Modellen. Es vereinfachte die Prinzipien der Optionspreisbildung durch Arbitrage-Überlegungen und ebnete den Weg für ein breiteres Verständnis und die Anwendung von Optionspreismodellen in der Finanzmathematik.

Wichtigste Erkenntnisse

• Das Binomialoptionsmodell ist ein flexibles numerisches Verfahren zur Bewertung von Optionen, das die Preisentwicklung eines Basiswerts in diskreten Zeitschritten simuliert.
• Es ist besonders nützlich für die Bewertung von amerikanischen Optionen, da es die Möglichkeit der vorzeitigen Ausübung in jedem Knotenpunkt des Baumes berücksichtigen kann.
• Das Modell basiert auf dem Prinzip der Risikoneutralität und der Annahme der Arbitragefreiheit zur Bestimmung des fairen Werts einer Option.
• Die Genauigkeit des Modells nimmt mit der Anzahl der verwendeten Zeitschritte zu, was jedoch auch den Rechenaufwand erhöht.
• Es bietet eine visuelle und intuitive Darstellung der möglichen Preispfade des Basiswerts.

Formel und Berechnung

Die Berechnung im Binomialoptionsmodell erfolgt in mehreren Schritten. Zunächst wird ein Binomialbaum für den Basiswert erstellt, der alle möglichen Preisentwicklungen über die Laufzeit der Option darstellt. Für jeden Knoten im Baum werden der potenzielle Preis des Basiswerts bei einer Aufwärtsbewegung ((S_u)) und einer Abwärtsbewegung ((S_d)) berechnet:

$S_u = S \times u$
$S_d = S \times d$

Wobei:

• (S) der aktuelle Preis des Underlying-Asset ist.
• (u) der Aufwärtsfaktor ist ((u > 1)).
• (d) der Abwärtsfaktor ist ((0 < d < 1)).

Die Faktoren (u) und (d) können unter Berücksichtigung der Volatilität ((\sigma)) und der Länge eines Zeitschritts ((\Delta t)) angenähert werden:

$u = e^{\sigma \sqrt{\Delta t}}$
$d = e^{-\sigma \sqrt{\Delta t}} = 1/u$

Anschließend wird die risikoneutrale Wahrscheinlichkeit ((p)) für eine Aufwärtsbewegung berechnet:

$p = \frac{e^{r\Delta t} - d}{u - d}$

Wobei:

• (r) der risikofreie Zinssatz ist.
• (\Delta t) die Länge eines Zeitschritts ist.

Nachdem die Endwerte der Option am Verfallsdatum (dem letzten Knoten des Baums) bestimmt wurden (Call: (\max(0, S_T - K)), Put: (\max(0, K - S_T)), wobei (K) der Ausübungspreis ist), wird der Optionswert rückwärts durch den Baum diskontiert. Der Wert der Option (C) oder (P) an einem bestimmten Knoten wird dabei mit der folgenden Formel berechnet:

$C_t = e^{-r\Delta t} [p C_{t+1, u} + (1-p) C_{t+1, d}]$
$P_t = e^{-r\Delta t} [p P_{t+1, u} + (1-p) P_{t+1, d}]$

Für amerikanische Optionen wird in jedem Knoten geprüft, ob eine vorzeitige Ausübung vorteilhafter wäre als das Halten der Option.

Interpretation des Binomialoptionsmodells

Die Interpretation des Binomialoptionsmodells liegt in seiner Fähigkeit, den Wert einer Option in einer diskreten Zeitumgebung zu bestimmen, wobei jeder Schritt eine potenzielle Gabelung der Preisentwicklung des Basiswerts darstellt. Die resultierende Optionsprämie am Ursprungsknoten des Baumes repräsentiert den fairen Marktpreis der Option unter den gegebenen Annahmen. Anleger und Händler nutzen das Modell, um zu beurteilen, ob eine Option über- oder unterbewertet ist, indem sie den vom Modell berechneten Wert mit dem aktuellen Marktpreis vergleichen.

Das Modell macht die Annahme der Arbitrage-Freiheit, was bedeutet, dass es keine risikolosen Gewinne durch die gleichzeitige Ausnutzung von Preisunterschieden auf verschiedenen Märkten geben sollte. Die risikoneutrale Wahrscheinlichkeit ist ein zentrales Konzept in diesem Rahmen, das es ermöglicht, die Optionsbewertung unabhängig von der Risikobereitschaft der Anleger durchzuführen.

Hypothetisches Beispiel

Angenommen, eine europäische Kaufoption hat einen Ausübungspreis von 105 USD und eine Restlaufzeit von einem Jahr. Der aktuelle Kurs des Underlying-Asset beträgt 100 USD. Der risikofreie Zinssatz beträgt 5 % pro Jahr, und die erwartete Volatilität des Basiswerts beträgt 20 %. Wir verwenden ein zweistufiges Binomialoptionsmodell (jede Stufe repräsentiert sechs Monate).

1. Zeitschritt-Parameter:

   • (\Delta t = 0.5) Jahre
   • (u = e^{0.20 \sqrt{0.5}} \approx 1.151)
   • (d = e^{-0.20 \sqrt{0.5}} \approx 0.869)

2. Risikoneutrale Wahrscheinlichkeit:

   • (p = \frac{e^{0.05 \times 0.5} - 0.869}{1.151 - 0.869} \approx \frac{1.0253 - 0.869}{0.282} \approx 0.554)

3. Kursentwicklung des Basiswerts:

   • Start: 100 USD
   • Nach 6 Monaten:
     • Aufwärts (Su): (100 \times 1.151 = 115.10) USD
     • Abwärts (Sd): (100 \times 0.869 = 86.90) USD
   • Nach 12 Monaten (Ende der Laufzeit):
     • Suu: (115.10 \times 1.151 = 132.48) USD
     • Sud: (115.10 \times 0.869 = 100.03) USD
     • Sdd: (86.90 \times 0.869 = 75.52) USD

4. Optionswert am Verfallsdatum (Max(0, S-K)):

   • Am Knoten Suu: (\max(0, 132.48 - 105) = 27.48) USD
   • Am Knoten Sud: (\max(0, 100.03 - 105) = 0) USD
   • Am Knoten Sdd: (\max(0, 75.52 - 105) = 0) USD

5. Rückwärtsrechnung der Optionswerte:

   • Optionswert nach 6 Monaten (Knoten Su):
     • (C_u = e^{-0.05 \times 0.5} [0.554 \times 27.48 + (1-0.554) \times 0] \approx 0.9753 \times [15.22] \approx 14.84) USD
   • Optionswert nach 6 Monaten (Knoten Sd):
     • (C_d = e^{-0.05 \times 0.5} [0.554 \times 0 + (1-0.554) \times 0] \approx 0) USD

6. Optionswert heute (Knoten S):

   • (C_0 = e^{-0.05 \times 0.5} [0.554 \times 14.84 + (1-0.554) \times 0] \approx 0.9753 \times [8.21] \approx 8.01) USD

Der geschätzte Wert der Option beträgt unter diesen Annahmen etwa 8.01 USD. Dieses Beispiel veranschaulicht, wie durch die schrittweise Berechnung und Diskontierung der Erwartungswerte die Optionsprämie ermittelt wird.

Praktische Anwendungen

Das Binomialoptionsmodell findet breite Anwendung in der Finanzwelt, insbesondere bei der Bewertung komplexerer Optionen und Optionsstrategien, für die geschlossene Lösungen nicht verfügbar sind. Eine der wichtigsten praktischen Anwendungen des Modells ist die Bewertung von amerikanischen Optionen, da es im Gegensatz zum Black-Scholes-Modell die Möglichkeit der vorzeitigen Ausübung in jedem Zeitschritt berücksichtigen kann. Dies ist ein entscheidender Vorteil, da amerikanische Optionen während ihrer gesamten Laufzeit ausgeübt werden können. Das Modell wird auch zur Bewertung von Optionen auf Aktien, Währungen, Rohstoffe und an⁵dere Derivate eingesetzt. Darüber hinaus dient es als pädagogisches Werkzeug, um die Konzepte der Optionspreisbildung, der Arbitrage und der Hedge-Theorie auf intuitive Weise zu vermitteln. Es ist ein wertvolles Instrument für Finanzanalysten und quantitative Trader, um Optionspreise zu kalkulieren und potenzielle Fehlbewertungen zu identifizieren. Ein umfassender Leitfaden zum Binomialbaummodell kann weitere Einblicke in seine praktische Anwendung geben.

Einschränkungen und Kritikpunkte

Trotz seiner Vorteile hat das Binomialoptionsmodell a⁴uch Einschränkungen. Einer der Hauptkritikpunkte ist die Annahme diskreter Zeitschritte, die nicht immer die kontinuierliche Natur der Finanzmärkte widerspiegelt. Obwohl die Genauigkeit des Modells mit einer Erhöhung der Anzahl der Zeitschritte steigt, führt dies auch zu einem erheblichen Anstieg des Rechenaufwands, insbesondere bei Optionen mit langer Laufzeit oder bei der Notwendigkeit einer sehr hohen Präzision. Dies kann für Finanzmodelle mit vielen Schritten eine Herausforderung darstellen.

Eine weitere Limitation liegt in der Annahme konstanter Volatilität und des risikofreien Zinssatzes über die gesamte Laufzeit der Option. In der Realität können diese Parameter schwanken, was die Genauigkeit des Modells beeinträchtigen kann. Die Konvergenz des Binomialmodells zum Black-Scholes-Modell erfordert eine große Anzahl von Schritten, um die gleiche Präzision zu erreichen, was auf die unterschiedlichen Annahmen über die Verteilung der Basiswertpreise zurückzuführen ist. Trotz dieser Kritikpunkte bleibt das Binomialoptionsmodell ein wichtiges Werkzeug in der Optionsbewertung und wird oft als Grundlage für komplexere Modelle verwendet.

Binomialoptionsmodell vs. Black-Scholes-Modell

Das Binomialoptionsmodell und das Black-Scholes-Modell sind beides weit verbreitete Methoden zur Optionsbewertung, unterscheiden sich jedoch grundlegend in ihren Ansätzen und Anwendungen. Das Black-Scholes-Modell ist ein geschlossenes analytisches Modell, das den fairen Wert einer europäischen Option in einer kontinuierlichen Zeitumgebung berechnet und eine schnelle Berechnung ermöglicht. Es setzt eine konstante Volatilität, einen konstanten risikofreien Zinssatz und keine Dividendenzahlungen voraus, sowie, dass der Basiswert einer logarithmischen Normalverteilung folgt.

Im Gegensatz dazu ist das Binomialoptionsmodell ein diskretes numerisches Modell, das den Optionspreis durch die² Modellierung möglicher Preispfade über eine Reihe von Zeitschritten ermittelt. Sein Hauptvorteil liegt in seiner Flexibilität: Es kann problemlos an die Bewertung von amerikanischen Optionen angepasst werden, die eine vorzeitige Ausübung ermöglichen, sowie an Optionen mit speziellen Merkmalen wie Dividendenzahlungen oder variablen Volatilitäten. Obwohl es rechenintensiver sein kann als Black-Scholes, insbesondere bei einer hohen Anzahl von Zeitschritten, bietet es eine visuell intuitivere Darstellung des Preisbildungsprozesses. Die Wahl zwischen den beiden Finanzmodelle hängt oft von der Art der zu bewertenden Option und der erforderlichen Komplexität ab.

FAQs

Was ist der Hauptvorteil des Binomialoptionsmodells?

Der Hauptvorteil des Binomialoptionsmodells ist seine Fähigkeit, amerikanische Optionen zu bewerten. Da es die Möglichkeit der vorzeitigen Ausübung in jedem Knotenpunkt des Baumes berücksichtigen kann, ist es flexibler als Modelle, die dies nicht tun. Es bietet auch eine klare, schrittweise Visualisierung der Preisentwicklung des Underlying-Asset.

Wie wirkt sich die Anzahl der Zeitschritte auf die Genauigkeit aus?

Die Genauigkeit des Binomialoptionsmodells steigt mit zunehmender Anzahl der Zeitschritte. Mit mehr Schritten wird die diskrete Simulation der kontinuierlichen Preisbewegung des Basiswerts genauer, was zu einem Optionspreis führt, der dem theoretischen Wert, der beispielsweise durch ein kontinuierliches Modell wie das Black-Scholes-Modell berechnet wird, näherkommt. Allerdings erhöht dies auch den Rechenaufwand.

Kann das Binomialoptionsmodell für alle Arten von Optionen verwendet werden?

Das Binomialoptionsmodell ist sehr vielseitig und kann für eine Vielzahl von Optionen, einschließlich europäischer und amerikanischer Optionen, verwendet werden. Es kann auch an die Bewertung von Optionen angepasst werden, die Dividenden zahlen, oder an exotischere Optionen mit komplexeren Merkmalen, indem die Struktur des Binomialbaums entsprechend modifiziert wird.

Was bedeutet "risikoneutrale Wahrscheinlichkeit" im Kontext des Modells?

Die risikoneutrale Wahrscheinlichkeit ist ein theoretisches Konzept, das die Berechnung des Optionspreises ohne die Notwendigkeit impliziter Annahmen über die Risikobereitschaft der Anleger ermöglicht. Im Binomialoptionsmodell stellt sie die Wahrscheinlichkeit dar, dass der Basiswert steigt, unter der Annahme, dass Anleger keine Risikoprämie für das Halten des Basiswerts verlangen. Dies vereinfacht die Diskontierung zukünftiger Optionsauszahlungen zum risikofreien Zinssatz.

Welche Rolle spielt die Volatilität im Binomialoptionsmodell?

Die Volatilität ist ein entscheidender Inputparameter für das Binomialoptionsmodell. Sie bestimmt die Größe der möglichen Aufwärts- und Abwärtsbewegungen des Basiswerts in jedem Zeitschritt. Eine höhere Volatilität führt zu größeren möglichen Preisspannen und damit potenziell zu einem höheren Wert für die Option, da die Wahrscheinlichkeit extremerer Auszahlungen steigt.¹