Gesetz der grossen zahlen

Was ist das Gesetz der großen Zahlen?

Das Gesetz der großen Zahlen (GdGZ) ist ein fundamentales Theorem der Wahrscheinlichkeitstheorie, das besagt, dass der Durchschnitt der Ergebnisse einer großen Anzahl unabhängiger und identisch verteilter Zufallsexperimente sich dem Erwartungswert annähert, wenn die Stichprobengröße zunimmt. Es gehört zum Bereich der Statistischen Analyse und ist ein Eckpfeiler für das Verständnis von Risiko und Unsicherheit in vielen Bereichen, einschließlich der Finanzmathematik. Im Wesentlichen besagt das Gesetz der großen Zahlen, dass bei genügend Wiederholungen eines zufälligen Ereignisses das empirische Ergebnis immer näher an das theoretische oder erwartete Ergebnis heranrückt.

Geschichte ³⁵, ³⁶und Ursprung

Die grundlegende Idee hinter dem Gesetz der großen Zahlen wurde bereits im 16. Jahrhundert vom italienischen Mathematiker Gerolamo Cardano beobachtet, der feststellte, dass die Genauigkeit empirischer Statistiken mit der Anzahl der Versuche zunimmt, jedoch ohne einen formalen Beweis zu liefern. Die erste formal³⁴e Formulierung und der Beweis dieses Prinzips, bekannt als das „Goldene Theorem“ oder auch Bernoullis Theorem, stammen vom Schweizer Mathematiker Jacob Bernoulli. Er veröffentlichte seinen rigorosen mathematischen Beweis in seinem posthum erschienenen Werk Ars Conjectandi (Die Kunst des Vermutens) im Jahr 1713. Bernoulli beschäftigte sich über 20 Jahre mit der Entwicklung dieses Beweises, der als wegweisend für die formale Wahrscheinlichkeitstheorie gilt. Der Name „Gesetz der gro³³ßen Zahlen“ wurde später, im Jahr 1837, vom französischen Mathematiker Siméon Denis Poisson geprägt, der eine verallgemeinerte Version des Theorems bewies.

Wichtige Erkenntnisse

• Da³²s Gesetz der großen Zahlen besagt, dass sich der Durchschnitt einer großen Anzahl von Ergebnissen eines zufälligen Prozesses dem erwarteten Wert annähert.
• Es ist ein fundamentales Prinzip ³¹der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik, das die Vorhersagbarkeit von Durchschnittswerten über viele Versuche hinweg gewährleistet.
• Das Gesetz der großen Zahlen ist en²⁹, ³⁰tscheidend für das Risikomanagement, insbesondere in der Versicherungsmathematik und bei Investitionsentscheidungen.
• Es bedeutet nicht, dass vergangene Ab²⁸weichungen ausgeglichen werden; vielmehr werden diese Abweichungen durch eine größere Anzahl zukünftiger Ergebnisse im Durchschnitt verwässert.
• Ein ausreichend großer Datensatz ist notwendig, damit die beobachteten Durchschnitte die tatsächliche Population korrekt widerspiegeln.

Formel und Berechnung

Das Gesetz der große²⁷n Zahlen ist kein Theorem, das eine spezifische Formel zur direkten Berechnung eines Werts liefert. Stattdessen beschreibt es ein Konvergenzverhalten. Man kann es mathematisch wie folgt ausdrücken:

Sei (X_1, X_2, ..., X_n) eine Sequenz von unabhängigen und identisch verteilten Zufallsvariablen (oft als i.i.d. bezeichnet), jede mit einem endlichen Erwartungswert (\mu).
Definieren wir den Stichprobenmittelwert (\bar{X}_n) als:

Das Gesetz der großen Zahlen besagt dann, dass (\bar{X}_n) gegen (\mu) konvergiert, wenn (n) gegen unendlich strebt. Es gibt zwei Hauptformen des Gesetzes:

• Schwaches Gesetz der großen Zahlen (WLLN):
  Für jede beliebige positive Zahl (\epsilon > 0), gilt:

  $$\lim_{n \to \infty} P(|\bar{X}_n - \mu| < \epsilon) = 1$$

  Dies bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit, dass der Stichprobenmittelwert um weniger als (\epsilon) vom wahren Erwartungswert abweicht, gegen 1 geht, wenn die Stichprobengröße unendlich wird.

• Starkes Gesetz der großen Zahlen (SLLN):
  $²⁵, ²⁶$
  P\left(\lim_{n \to \infty} \bar{X}_n = \mu\right) = 1

  $$Dies ist eine strengere Form, die besagt, dass der Stichprobenmittelwert fast sicher zum wahren [Erwartungswert](https://diversification.com/term/erwartungswert) konvergiert.$$

Wichtig ist hier die Abhängigkeit vom Parameter (n), ²³, ²⁴der die Stichprobengröße repräsentiert. Je größer (n) wird, desto genauer wird die Annäherung.

Interpretation des Gesetzes der großen Zahlen

Das Gesetz der großen Zahlen ist ein prinzipielles Konzept und keine Methode zur Vorhersage einzelner Ereignisse. Es sagt aus, dass die zufälligen Schwankungen einzelner Beobachtungen sich im Durchschnitt bei einer hinreichend großen Anzahl von Wiederholungen ausgleichen. Die beobachtete Häufigkeit eines Ereignisses wird sich der tatsächlichen Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses annähern.

Im Finanzwesen hilft das Gesetz der großen Zahlen dabei, das langfristige Verhalten von Rendite und Varianz von Wertpapieren zu verstehen. Es untermauert die Idee, dass kurzfristige Marktbewegungen zufällig und unvorhersehbar sein können, aber über lange Zeiträume hinweg die Marktergebnisse tendenziell dem historischen Durchschnitt entsprechen. Für eine sinnvolle Datenanalyse oder die Ableitung von Regeln aus Empirische Daten ist eine große Menge an Beobachtungen entscheidend, um statistisch aussagekräftige Schlussfolgerungen ziehen zu können.

Hypothetisches Beispiel

Stellen Sie sich vor, Sie werfen eine faire Münze. Die theoretische Wahrscheinlichkeit für "Kopf" beträgt 0,5 (50 %).

• Wenige Würfe: Nach 10 Würfen könnten Sie 7 Mal "Kopf" erhalten (70 %). Der beobachtete Durchschnitt (0,7) weicht hier deutlich vom erwarteten Wert (0,5) ab.
• Mehr Würfe: Nach 100 Würfen erhalten Sie möglicherweise 55 Mal "Kopf" (55 %). Der Durchschnitt ist nun 0,55, was näher am Erwartungswert liegt.
• Sehr viele Würfe: Nach 10.000 Würfen erhalten Sie 4.998 Mal "Kopf" (49,98 %). Der Durchschnitt von 0,4998 ist sehr nah am erwarteten Wert von 0,5.

Dieses Beispiel illustriert das Gesetz der großen Zahlen: Je mehr Versuche durchgeführt werden, desto näher kommt der beobachtete Durchschnitt der Anzahl von Köpfen dem wahren Erwartungswert (50 %).

Praktische Anwendungen

Das Gesetz der großen Zahlen findet in verschiedenen Bereichen praktische Anwendung:

• Versicherung: Versicherungsunternehmen nutzen das Gesetz der großen Zahlen, um Risiken zu kalkulieren und Prämien festzulegen. Indem sie eine große Anzahl ähnlicher Versicherungsnehmer versichern, können sie die erwartete Anzahl und den Umfang von Schadensfällen mit hoher Genauigkeit vorhersagen und so ihre Geschäftsmodelle stabil halten. Dies ist das Fundament der [Versicherungsmathematik](https://diversification.com/term/versicherungsmath[²⁰](https://www.numberanalytics.com/blog/law-large-numbers-action-discrete-probability), ²¹ematik). Die Federal Reserve Bank of San Francisco beschreibt, wie Versicherer durch das Pooling einer großen Anzahl von Versicherten Risiken mindern können. [frbsf.org/education/publications/econ-101/economics-insurance-law-large-numbers/]
• Finanzmärkte und Investitionen: Im Kontext von Portfolio Diversifizierung bedeutet das Gesetz der großen Zahlen, dass ein breit diversifiziertes Portfolio, das viele verschiedene Vermögenswerte enthält, tendenziell stabiler ist und sich der durchschnittlichen Marktrendite annähert, da die spezifischen Risiken einzelner Anlagen sich gegenseitig aufheben. Für Langfristige Anlagen ist es entscheidend: Die kur¹⁸, ¹⁹zfristigen, oft zufälligen Marktschwankungen werden über einen langen Zeitraum hinweg durch die zugrundeliegende Rendite der Gesamtwirtschaft gemittelt.
• Glücksspiel: Kasinos und Lotterien basieren ihre Rentabilität auf diesem Gesetz. Obwohl einzelne Spieler ¹⁷kurzfristig gewinnen können, stellt der geringe statistische Vorteil des Hauses, multipliziert mit der enormen Anzahl von Spielen, sicher, dass das Kasino langfristig profitabel ist.
• Qualitätskontrolle: In der Produktion wird das Gesetz der großen Zahlen angewendet, um die Qualität von Prod¹⁵, ¹⁶ukten zu gewährleisten. Durch die Stichprobenprüfung einer großen Anzahl von Artikeln kann die durchschnittliche Qualität einer Produktionscharge zuverlässig auf die wahre Durchschnittsqualität geschlossen werden.
• Meinungsumfragen: Meinungsforschungsinstitute verlassen sich auf das Gesetz der großen Zahlen, um repräsentative Erge¹⁴bnisse zu erzielen. Eine größere Stichprobengröße erhöht die Zuverlässigkeit der Umfrageergebnisse und macht sie repräsentativer für die Gesamtbevölkerung.

Einschränkungen und Kritikpunkte

Obwohl das Gesetz der großen Zahlen ein mächtiges Prinzip ist, hat es bestimmte Einschränkungen un¹³d wird manchmal missverstanden:

• Keine Garantie für kurzfristige Ergebnisse: Das Gesetz garantiert keine Ergebnisse über kurze Zeiträume oder eine geringe Anzahl von Versuchen. Eine Serie von zehn Münzwürfen könnte immer noch zu zehnmal "Kopf" führen, ohne das Gesetz zu widerlegen.
• Unabhängigkeit der Ereignisse: Das Gesetz setzt voraus, dass die Ereignisse unabhängig voneinander sind. Wenn Ereignisse voneinander abhängig sind (z.B. Karten, die ohne Zurücklegen aus einem Deck gezogen werden), kann das Gesetz nicht direkt angewendet werden.
• Spielerirrtum (Gambler's Fallacy): Ein häufiger Denkfehler, der mit dem Gesetz der großen Zahlen verwechselt wird, ist der Spielerirrtum. Dies ist der Glaube, dass ein zufälliges Ereignis, das überfällig zu sein scheint (z.B. nach mehreren Würfen keine "Sechs" gewürfelt zu haben), wahrscheinlicher wird, um den Durchschnitt "auszugleichen". Das Gesetz der großen Zahlen besagt jedoch nicht, dass vergangene Abweichungen durch zukünftige Ergebnisse "ausgeglichen" werden; es besagt lediglich, dass sich diese Abweichungen in einem größeren Pool von Ereignissen statistisch verwässern. Die New York Times diskutiert die psychologischen Aspekte dieses Trugschlusses. [nytimes.com/2012/03/18/magazine/whats-the-opposite-of-the-gamblers-fallacy.html]
  *¹¹, ¹² Nicht anwendbar auf individuelle Ergebnisse: Das Gesetz der großen Zahlen ist eine Aussage über den Durchschnitt oder die relative Häufigkeit von Ereignissen in einer großen Serie, nicht über das Ergebnis eines einzelnen Ereignisses. Es sagt nichts über die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Münzwurfs aus, nachdem die vorherigen alle "Kopf" waren.
• "Gesetz der großen Zahlen" im Geschäftskontext: In der Finanzwelt wird der Begriff manchmal umgangssprachlich verwendet, um die Beobachtung zu beschreiben, dass e¹⁰s für sehr große Unternehmen schwieriger wird, hohe Wachstumsraten aufrechtzuerhalten, da die absoluten Zahlen immer größer werden. Dies ist jedoch nicht die statistische Definition des Gesetzes der großen Zahlen, sondern eher ein Konzept, das mit Skalenerträgen oder dem Gesetz des abnehmenden Grenzertrags zusammenhängt.

Gesetz der großen Zahlen vs. Zentraler Grenzwertsatz

Das Gesetz der großen Zahlen und der Zentrale Grenzwertsatz sind beides fundamentale Theoreme der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik, die oft miteinander verwechselt oder in einem Atemzug genannt werden, obwohl sie unterschiedliche Aspekte beleuchten.

Kurz gesagt, das Gesetz der großen Zahlen sagt uns, dass der Stichprobenmittelwert dem Populationsmittelwert nahekommt, während der Zentrale Grenzwertsatz uns sagt, dass die Verteilung dieser Stichprobenmittelwerte eine Glockenkurve bildet, unabhängig von der ursprünglichen Verteilung der Daten.

FAQs

Was ist der Unterschied zwischen dem Gesetz der großen Zahlen und dem "Gesetz der Durchschnitte"?

Das "Gesetz der Durchschnitte" ist ein umgangssprachlicher Begriff, der oft missverstanden wird. Er suggeriert fälschlicherweise, dass vergangene Abweichungen in Zufallsereignissen "ausgeglichen" werden müssen, was zum sogenannten Spielerirrtum führt. Das Gesetz der großen Zahlen hingegen ist ein mathematisches Theorem, das besagt, dass sich der Durchschnitt der Ergebnisse einer großen Anzahl unabhängiger Wiederholungen dem erwarteten Wert annähert, ohne dass einzelne Ergebnisse "ausgeglichen" werden müssen. Die Abweichungen werden einfach durch die Menge der Daten verwässert.

Warum ist das Gesetz der großen Zahlen für Versicherungen so wichtig?

Für Versicherungsunternehmen ist das Gesetz der großen Zahlen von grundlegender Bedeutung für das [Risikomanagement](https://diversification.[⁴](https://www.britannica.com/science/law-of-large-numbers), ⁵com/term/risikomanagement). Es ermöglicht ihnen, durch das Sammeln von Empirische Daten über eine große Anzahl von Versicherten (z.B. Sterblichkeitsraten, Unfallhäufigkeiten) die Wahrscheinlichkeit und den erwarteten Wert zukünftiger Schadensfälle genau abzuschätzen. Diese Vorhersagbarkeit bildet die Grundlage für die Festlegung fairer und profitabler Prämien. Ohne dieses Gesetz wäre die Versicherungsmathematik in ihrer heutigen Form nicht möglich.

Kann das Gesetz der großen Zahlen verwendet werden, um Börsenkurse vorherzu³sagen?

Nein, das Gesetz der großen Zahlen kann nicht verwendet werden, um einzelne Börsenkurse oder kurzfristige Marktbewegungen vorherzusagen. Es ist ein Prinzip über das langfristige Verhalten von Durchschnitten bei einer großen Anzahl von unabhängigen Ereignissen. Im Kontext von Investitionen deutet es darauf hin, dass die Rendite eines breit diversifizierten Portfolios über sehr lange Zeiträume dazu neigt, sich dem durchschnittlichen Ertrag des Gesamtmarktes anzunähern, da die zufälligen Schwankungen einzelner Wertpapiere sich gegenseitig aufheben. Es untermauert die Bedeutung von Langfristige Anlagen und Diversifikation, aber nicht die kurzfristige Marktprognose.¹, ²