Globales minimum

What Is Globales Minimum?

Das globale Minimum in der Finanzwelt bezieht sich auf das Portfoliooptimierung, das die niedrigste mögliche Volatilität (Risiko) für alle möglichen Rendite-Niveaus aufweist. Es ist ein zentraler Begriff in der Portfoliotheorie, insbesondere innerhalb der Modern Portfolio Theory (MPT), die darauf abzielt, Anlegern zu helfen, ein optimales Verhältnis zwischen Risiko und Rendite zu finden. Das globale Minimum stellt den Punkt auf der Effizienzgrenze dar, der das geringste Risiko bietet, unabhängig von der angestrebten Rendite. Es ist ein entscheidender Ankerpunkt für risikobewusste Anleger.

History and Origin

Das Konzept des globalen Minimums ist untrennbar mit der Entwicklung der Modernen Portfoliotheorie (MPT) durch Harry Markowitz in den 1950er Jahren verbunden. Vor Markowitz konzentrierten sich Anleger typischerweise auf einzelne Wertpapiere und deren individuelle Risiko- und Renditemerkmale. Markowitz revolutionierte diesen Ansatz, indem er zeigte, dass die Kombination von Vermögenswerten in einem Portfolio die Gesamtrisikobereitschaft durch Risikostreuung beeinflussen kann. Seine bahnbrechende Arbeit mit dem Titel „Portfolio Selection“, die 1952 im „Journal of Finance“ erschien, legte den Grundstein für das Verständnis, wie Anleger Portfolios auf der Grundlage erwarteter Renditen und Varianzen konstruieren können. Für diese wegweisende Theorie wurde Markowitz 1990 mit dem Nobel Memorial Prize in Economic Sciences ausgezeichnet.

Key Takeaways

*⁴ Das globale Minimum stellt das Portfolio mit der geringsten Standardabweichung aller möglichen Portfolios dar.

Es ist ein Eckpfeiler der Modernen Portfoliotheorie, die das Risiko eines Portfolios als Ganzes und nicht einzelner Vermögenswerte betrachtet.
Anleger, die das geringstmögliche Risiko anstreben, suchen oft nach Portfolios nahe dem globalen Minimum.
Die Zusammensetzung des globalen Minimums hängt von den erwarteten Renditen, Varianzen und Korrelationen der Vermögenswerte ab.
Obwohl es das geringste Risiko bietet, ist das globale Minimum nicht unbedingt das optimale Portfolio für jeden Anlegertyp, da es möglicherweise nicht die höchste erwartete Rendite für eine gegebene Risikotoleranz liefert.

Formula and Calculation

Die Bestimmung des globalen Minimums eines Portfolios erfordert die Lösung eines Optimierungsproblems. Das Ziel ist es, die Portfolio-Gewichtungen zu finden, die die Portfolio-Varianz minimieren.

Für ein Portfolio mit (n) Vermögenswerten ist die Varianz des Portfolios ((\sigma_P^2)) gegeben durch:

\sigma_P^2 = \sum_{i=1}^{n} w_i^2 \sigma_i^2 + \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1, i \neq j}^{n} w_i w_j \rho_{ij} \sigma_i \sigma_j

Wobei:

(w_i) = Gewichtung des Vermögenswerts (i) im Portfolio
(\sigma_i^2) = Varianz der Rendite des Vermögenswerts (i)
(\rho_{ij}) = Korrelationskoeffizient zwischen den Renditen des Vermögenswerts (i) und des Vermögenswerts (j)
(\sigma_i) = Standardabweichung der Rendite des Vermögenswerts (i)

Die Summe der Gewichtungen muss 1 ergeben:

\sum_{i=1}^{n} w_i = 1

Um das globale Minimum zu finden, werden diese Gleichungen unter der Nebenbedingung gelöst, dass die Summe der Gewichtungen 1 ist. Dies beinhaltet typischerweise Techniken der quadratischen Programmierung. Das Ergebnis sind die spezifischen Asset-Allokation-Gewichtungen, die die geringste Gesamtvolatilität des Portfolios liefern.

Interpreting the Globales Minimum

Das globale Minimum auf der Effizienzgrenze markiert den Punkt, jenseits dessen keine weitere Risikoreduzierung durch Diversifikation möglich ist. Für Anleger, die eine möglichst geringe Risikoaversion haben, repräsentiert das globale Minimum das sicherste Portfolio, das aus den verfügbaren risikoreichen Vermögenswerten gebildet werden kann. Es ist wichtig zu verstehen, dass ein Portfolio im globalen Minimum zwar das geringste Risiko aufweist, seine erwartete Rendite jedoch möglicherweise nicht die höchste ist. Anleger müssen abwägen, ob die Reduzierung des Risikos auf dieses absolute Minimum ihren Renditezielen entspricht. Die Effizienzgrenze erstreckt sich von diesem globalen Minimum aufwärts und bietet Portfolios mit höheren erwarteten Renditen für schrittweise steigendes Risiko.

Hypothetical Example

Stellen Sie sich einen Anleger vor, der ein Portfolio aus zwei Vermögenswerten, Aktien und Anleihen, aufbauen möchte.

Angenommen, die Daten sind wie folgt:

Aktien: Erwartete Rendite = 10 %, Standardabweichung = 20 %
Anleihen: Erwartete Rendite = 4 %, Standardabweichung = 8 %
Korrelation zwischen Aktien und Anleihen = 0,20

Um das globale Minimum zu finden, würde ein Optimierungsmodell die Kombination von Aktien und Anleihen ermitteln, die die niedrigste Gesamtportfoliovolatilität ergibt. Nehmen wir an, das Modell berechnet, dass ein Portfolio mit 20 % Aktien und 80 % Anleihen die geringste Standardabweichung von beispielsweise 6 % aufweist. Dieses Portfolio von 20 % Aktien und 80 % Anleihen wäre das globale Minimum für diese spezifischen Vermögenswerte und deren Korrelation. Jeder Versuch, das Risiko weiter zu reduzieren, würde nur durch die Einführung risikofreier Vermögenswerte wie Staatsanleihen oder durch das Akzeptieren einer noch geringeren erwarteten Rendite bei gleichbleibendem Risiko möglich sein.

Practical Applications

Das Konzept des globalen Minimums wird in der Praxis von Portfoliomanagern und institutionellen Anlegern angewendet, insbesondere wenn das Hauptaugenmerk auf der Risikominimierung liegt. Pensionsfonds, Stiftungen und Versicherungsgesellschaften, die oft strenge Risikobudgets einhalten müssen, können das globale Minimum als Benchmark oder Ausgangspunkt für ihre strategische Asset-Allokation nutzen. Es dient als Referenzpunkt, um Portfolios zu konstruieren, die das³ geringste Niveau an inhärentem Marktrisiko aufweisen.

Darüber hinaus findet das globale Minimum Anwendung im Risikomanagement. Durch die Identifizierung des Portfolios mit dem geringsten Risiko können Finanzinstitute die Grenzen der Diversifikation besser verstehen und festlegen, wie weit sie das Risiko reduzieren können, ohne auf risikofreie Vermögenswerte zurückzugreifen. Dies ist besonders relevant in Phasen erhöhter Marktunsicherheit, wie sie beispielsweise in den Globale Finanzstabilitätsberichten des Internationalen Währungsfonds (IWF) analysiert werden.

Limitations and Criticisms

Obwohl das Konzept des globalen Minimums in² der Portfoliotheorie grundlegend ist, gibt es auch Einschränkungen und Kritikpunkte. Die Hauptannahmen der Modernen Portfoliotheorie, auf denen das globale Minimum basiert, sind nicht immer in der realen Welt gegeben. Dazu gehören die Annahme normalverteilter Renditen, rationaler Anleger und stabiler Korrelationen. Finanzmärkte zeigen oft "fette Enden" (Fat Tails), was bedeutet, dass extreme Ereignisse häufiger auftreten, als es eine Normalverteilung vorhersagen würde. Zudem sind Korrelationen zwischen Vermögenswerten in Stressphasen oft instabil und können sich schnell ändern, wodurch die Vorteile der Diversifikation genau dann eingeschränkt werden, wenn sie am dringendsten benötigt werden.

Darüber hinaus beruht die Berechnung des globalen Minimums stark auf historischen Da¹ten für erwartete Renditen, Varianzen und Kovarianzen. Die vergangene Wertentwicklung ist jedoch kein verlässlicher Indikator für zukünftige Ergebnisse. Das globale Minimum ist daher nur so gut wie die Input-Schätzungen, die anfällig für Messfehler und Ungenauigkeiten sind. Einige Kritiker aus dem Bereich der verhaltensorientierten Finanzwirtschaft (Behavioral Finance) argumentieren, dass die Annahme des rationalen Anlegers, der stets risikobereinigt optimiert, nicht die komplexen psychologischen Faktoren berücksichtigt, die Anlageentscheidungen beeinflussen.

Globales Minimum vs. Lokales Minimum

Der Unterschied zwischen einem globalen Minimum und einem lokalen Minimum ist entscheidend im Kontext der mathematischen Optimierung und findet in der Finanzwelt Anwendung, insbesondere bei der Portfoliooptimierung.

Ein globales Minimum ist der Punkt in der Lösungsmenge eines Problems, an dem die Zielfunktion den niedrigsten Wert im gesamten Definitionsbereich annimmt. Im Zusammenhang mit Portfolios bedeutet dies das Portfolio mit der absolut geringsten Volatilität, die überhaupt erreicht werden kann, basierend auf den gegebenen Vermögenswerten und deren Beziehungen.

Ein lokales Minimum hingegen ist ein Punkt, an dem die Zielfunktion in einer begrenzten Umgebung des Punktes den niedrigsten Wert annimmt, aber nicht unbedingt der niedrigste Wert im gesamten Definitionsbereich ist. Es ist wie eine Senke in einer Landschaft; man kann in einer kleinen Umgebung den tiefsten Punkt finden, aber es gibt möglicherweise eine noch tiefere Senke anderswo. In der Portfoliooptimierung könnte ein Algorithmus ein lokales Minimum finden, das ein Portfolio mit relativ geringem Risiko darstellt, aber nicht das geringstmögliche Risiko für das gesamte Set der verfügbaren Anlageinstrumente bietet. Die Identifizierung des globalen Minimums erfordert robuste Optimierungsmethoden, um sicherzustellen, dass nicht nur eine lokale, sondern die tatsächlich geringste Varianz gefunden wird.

FAQs

Was ist das globale Minimum in der Finanzwelt?

Das globale Minimum ist das Portfolio, das die geringste Gesamtvolatilität (Risiko) unter allen möglichen Portfoliokombination von Anlageklassen aufweist. Es stellt den Punkt mit dem absolut niedrigsten Risiko auf der Effizienzgrenze der Modernen Portfoliotheorie dar.

Warum ist das globale Minimum wichtig?

Es ist wichtig, weil es den äußersten Punkt der Risikoreduzierung durch Diversifikation darstellt. Für Anleger, die extrem risikobereinigt agieren möchten, liefert es die Zusammensetzung des Portfolios mit der geringsten Schwankung.

Ist das globale Minimum immer das beste Portfolio für einen Anleger?

Nein, nicht unbedingt. Während das globale Minimum das geringste Risiko bietet, ist seine erwartete Rendite möglicherweise nicht ausreichend für die individuellen Anlageziele oder die Kapitalmarktlinie. Anleger müssen ihre Risikotoleranz gegen ihre Renditeziele abwägen, um ihr optimales Portfolio auf der Effizienzgrenze zu finden. Das optimale Portfolio für einen Anleger hängt von seiner individuellen Risikopräferenz ab.

Wie wird das globale Minimum berechnet?

Die Berechnung erfolgt typischerweise mithilfe von Optimierungsalgorithmen, die die Portfolio-Gewichtungen so anpassen, dass die Varianz des Portfolios minimiert wird, wobei die Korrelationen und Standardabweichungen der einzelnen Finanzinstrumente berücksichtigt werden.

Welche Rolle spielt die Sharpe Ratio im Zusammenhang mit dem globalen Minimum?

Die Sharpe Ratio misst die risikobereinigte Rendite eines Portfolios. Während das globale Minimum das Portfolio mit dem geringsten absoluten Risiko ist, ist das Portfolio mit der höchsten Sharpe Ratio oft das "optimale" Portfolio für einen risikofreien Zinssatz, da es die beste Balance zwischen Risiko und Rendite bietet und somit die Steigung der Kapitalmarktlinie maximiert.