Kansverdeling

Wat Is Kansverdeling?

Een kansverdeling, of waarschijnlijkheidsverdeling, is een statistische functie die alle mogelijke uitkomsten van een toevalsvariabele en de bijbehorende waarschijnlijkheden definieert. Binnen de kwantitatieve analyse is het een fundamenteel concept dat helpt bij het begrijpen en voorspellen van onzekere gebeurtenissen. Het beschrijft hoe de waarschijnlijkheid van verschillende waarden verdeeld is over de reeks van mogelijke uitkomsten. Deze verdelingen kunnen discrete waarden (zoals het aantal koppen bij het opgooien van een munt) of continue waarden (zoals de koers van een aandeel) omvatten. Kansverdelingen zijn essentieel voor het modelleren van risico en rendement in financiële markten en vormen de basis voor statistische gevolgtrekkingen en besluitvorming.

Geschiedenis en Oorsprong

De formele studie van de waarschijnlijkheid en kansverdelingen begon vorm te krijgen in de 17e eeuw. Deze ontwikkeling werd grotendeels gestimuleerd door vragen met betrekking tot kansspelen, voorgesteld door gokkers aan vooraanstaande wiskundigen. De moderne wiskunde van de kansrekening wordt vaak gedateerd op de correspondentie tussen de Franse wiskundigen Pierre de Fermat en Blaise Pascal in 1654.¹², ¹³, ¹⁴ Zij legden de fundamentele grondbeginselen van de waarschijnlijkheidstheorie, die later bekend stond als "de leer van het toeval", vast.¹⁰, ¹¹ Het werk van Christiaan Huygens in 1657, zijn verhandeling over kansspelen genaamd De Ratiociniis in Ludo Aleae, behandelde ook waarschijnlijkheidskwesties voor gokproblemen en gaf een uitgebreide behandeling van het onderwerp.⁹ De inzichten van deze vroege pioniers vormden de basis voor latere ontwikkelingen en de toepassing van kansverdelingen in uiteenlopende gebieden, waaronder de statistiek en de financiering.

Kerninzichten

• Een kansverdeling beschrijft alle mogelijke uitkomsten van een toevals variabele en hun bijbehorende waarschijnlijkheden.
• Ze zijn fundamenteel voor het begrijpen van onzekerheid en het maken van voorspellingen in diverse vakgebieden, waaronder de financiële sector.
• Kansverdelingen kunnen discreet zijn (voor telbare uitkomsten) of continu (voor meetbare uitkomsten).
• Belangrijke kenmerken van een kansverdeling zijn de verwachte waarde (gemiddelde) en de standaardafwijking (spreiding).
• Ze worden breed toegepast in risicobeheer, portfoliotheorie en beleggingsstrategie.

Formule en Berekening

De kansverdeling zelf is geen enkele formule, maar eerder een functie die de waarschijnlijkheid van elke mogelijke uitkomst weergeeft. Voor discrete kansverdelingen wordt dit een Kansmassafunctie (KMF) genoemd, en voor continue kansverdelingen een Kansdichtheidsfunctie (KDF).

Kansmassafunctie (KMF) voor een discrete variabele (X):
$P(X = x_i)$
Dit geeft de waarschijnlijkheid dat de discrete variabele (X) precies de waarde (x_i) aanneemt. De som van alle waarschijnlijkheden voor alle mogelijke uitkomsten moet gelijk zijn aan 1.

Kansdichtheidsfunctie (KDF) voor een continue variabele (X):
$f(x)$
Voor een continue variabele is de waarschijnlijkheid van een specifieke puntwaarde nul. In plaats daarvan wordt de waarschijnlijkheid berekend over een bereik, door de KDF te integreren over dat bereik:
$P(a \le X \le b) = \int_a^b f(x) \, dx$
Hier staat (f(x)) voor de hoogte van de curve op punt (x). De totale oppervlakte onder de curve van de KDF moet gelijk zijn aan 1.

Deze functies helpen bij het bepalen van de gemiddelde uitkomst en de spreiding van de datapunten.

Interpreteren van de Kansverdeling

Het interpreteren van een kansverdeling draait om het begrijpen van de waarschijnlijkheid van verschillende uitkomsten. De vorm van de verdeling, zoals de normale verdeling (klokvormig), uniforme verdeling (gelijkmatig) of scheve verdelingen, geeft inzicht in de aard van de onderliggende gegevens. Voor financiële analyses helpt een kansverdeling bijvoorbeeld om te beoordelen hoe vaak een bepaald rendement verwacht kan worden of hoe groot de kans is op extreme verliezen.

Een verdeling met een kleine standaardafwijking wijst op een smalle spreiding van mogelijke uitkomsten rondom het gemiddelde, wat duidt op minder onzekerheid. Daarentegen betekent een grote standaardafwijking dat uitkomsten verder van het gemiddelde kunnen liggen, wat op meer risico duidt. Door de verdeling te visualiseren of de parameters te analyseren, kunnen financiële professionals de waarschijnlijkheid van diverse scenario's kwantificeren en betere besluitvorming ondersteunen.

Hypothetisch Voorbeeld

Stel, een belegger overweegt te investeren in een nieuw technologisch bedrijf en wil de mogelijke winst of verlies over het komende jaar inschatten. De belegger verzamelt historische gegevens en expertopinies en stelt een discrete kansverdeling op voor de jaarlijkse rendementen:

Stap 1: Bereken de verwachte waarde van het rendement.
Expected Value = (( -0.20 \times 0.10 ) + (0 \times 0.20) + (0.10 \times 0.40) + (0.25 \times 0.20) + (0.40 \times 0.10))
Expected Value = (-0.02 + 0 + 0.04 + 0.05 + 0.04 = 0.11) of 11%.

Stap 2: Analyseer de spreiding. De belegger ziet dat er een 10% kans is op een verlies van 20% en een 10% kans op een winst van 40%. Het meest waarschijnlijke scenario is een rendement van 10% (40% kans).

Dit voorbeeld toont aan hoe een kansverdeling inzicht geeft in de spreiding van mogelijke uitkomsten en het verwachte rendement, wat cruciaal is voor risicobeheer.

Praktische Toepassingen

Kansverdelingen vinden uitgebreide toepassing in diverse aspecten van financiën en economie.

• Portfoliotheorie: In de moderne portfoliotheorie worden kansverdelingen gebruikt om het risico en rendement van beleggingen te modelleren en portefeuilles te optimaliseren. Analisten gebruiken historische frequentieverdelingen van aandelenrendementen om toekomstige verdelingen te schatten.
• Risicobeheer: Banken en financiële instellingen gebruiken kansverdelingen om risicometen zoals Value-at-Risk (VaR) en Expected Shortfall te berekenen. Deze modellen kwantificeren potentiële verliezen onder normale en extreme marktomstandigheden. De Basel-akkoorden, internationale regelgeving voor banken, vereisen dat banken interne modellen gebruiken die afhankelijk zijn van kansverdelingen om kredietrisico en operationeel risico te beoordelen. De Ba⁷, ⁸sel Commissie heeft bijvoorbeeld gekozen voor modellen die de aannames van een normale verdeling gebruiken voor de systematische en idiosyncratische risicofactoren van een kredietportefeuille.
• ⁶Financiële Modellering: Bij financiële modellering en simulaties, zoals Monte Carlo-simulaties, worden kansverdelingen gebruikt om duizenden mogelijke toekomstscenario's te genereren voor variabele zoals rentetarieven, grondstofprijzen of aandelenkoersen.
• Beleid en Economie: Overheden en onderzoeksinstellingen zoals het U.S. Census Bureau maken gebruik van kansverdelingen om economische gegevens te analyseren, zoals de inkomensverdeling in de Verenigde Staten. Dit hel⁴, ⁵pt bij het begrijpen van maatschappelijke ongelijkheid en het formuleren van beleid.

Beperkingen en Kritiek

Hoewel kansverdelingen krachtige instrumenten zijn, kennen ze ook beperkingen en kritiekpunten, vooral in de financiële wereld. Een veelgehoorde kritiek betreft de aanname van normaliteit, vaak weergegeven door de normale verdeling (klokcurve). Hoewel de normale verdeling wiskundig handig is, geven financiële markten vaak 'vette staarten' te zien, wat betekent dat extreme gebeurtenissen (zowel positief als negatief) vaker voorkomen dan een normale verdeling zou voorspellen.

Deze 've², ³tte staarten' impliceren dat het risico op onverwachte, ernstige verliezen onderschat kan worden wanneer men uitsluitend uitgaat van een normale verdeling. Het Federal Reserve Bank of San Francisco heeft bijvoorbeeld een artikel gepubliceerd over 'vette staarten' in financiële markten, waarin wordt benadrukt dat de werkelijkheid kan afwijken van de aannames van de normale verdeling. Dit kan le¹iden tot onvoldoende risicobeheer en onjuiste kapitaalvereisten. Bovendien zijn historische datapunten geen perfecte voorspellers van toekomstige kansverdelingen, aangezien marktomstandigheden en onderliggende dynamieken kunnen veranderen, wat de complexiteit van financiële modellering vergroot.

Kansverdeling vs. Waarschijnlijkheid

Hoewel de termen "kansverdeling" en "waarschijnlijkheid" nauw verwant zijn en vaak door elkaar worden gebruikt in alledaagse conversatie, verwijzen ze in een statistische context naar verschillende aspecten van onzekerheid.

Waarschijnlijkheid is een numerieke waarde (tussen 0 en 1) die de kans aangeeft dat een specifieke gebeurtenis zal plaatsvinden. Het is een maat voor de zekerheid van een enkele uitkomst. Bijvoorbeeld, de waarschijnlijkheid dat een munt op 'kop' landt is 0,5.

Een kansverdeling daarentegen, is een uitgebreider concept. Het is een functie die alle mogelijke uitkomsten van een toevalsvariabele in kaart brengt en aan elk van deze uitkomsten een specifieke waarschijnlijkheid toekent. Het is de volledige set van waarschijnlijkheden voor een hele reeks van mogelijke gebeurtenissen. De kansverdeling van een muntworp zou bijvoorbeeld zowel de waarschijnlijkheid van 'kop' als de waarschijnlijkheid van 'munt' omvatten. Kortom, waarschijnlijkheid is de waarde voor één punt of gebeurtenis, terwijl een kansverdeling de totale structuur of 'kaart' van waarschijnlijkheden voor een reeks van punten of gebeurtenissen is.

Veelgestelde Vragen

Wat is het verschil tussen een discrete en een continue kansverdeling?

Een discrete kansverdeling beschrijft de waarschijnlijkheden van uitkomsten die telbaar zijn, zoals het aantal keer dat een dobbelsteen een zes gooit of het aantal wanbetalingen. Een continue kansverdeling beschrijft de waarschijnlijkheden van uitkomsten die elke waarde binnen een bepaald bereik kunnen aannemen, zoals de hoogte van een persoon of de koers van een aandeel. Voor continue verdelingen wordt de waarschijnlijkheid berekend over een interval, niet voor één specifiek punt.

Waarom zijn kansverdelingen belangrijk in de financiële sector?

Kansverdelingen zijn cruciaal in de financiële sector omdat ze helpen bij het kwantificeren van risico en rendement. Ze stellen analisten in staat om de waarschijnlijkheid van verschillende prijsbewegingen, verliezen of winsten te schatten, wat essentieel is voor portfoliotheorie, risicobeheer en het nemen van geïnformeerde beleggingsbeslissingen.

Kan een kansverdeling 'scheef' zijn?

Ja, een kansverdeling kan scheef zijn, wat betekent dat deze niet symmetrisch is rondom het gemiddelde. Bij een rechtsscheve (positief scheve) verdeling heeft de "staart" aan de rechterkant meer waarschijnlijkheid, wat betekent dat er een grotere kans is op een paar grote positieve uitschieters. Bij een linksscheve (negatief scheve) verdeling is het tegenovergestelde waar, met een grotere kans op grote negatieve uitschieters. Scheefheid is een belangrijke eigenschap om te overwegen, vooral bij het analyseren van financiële activa waar extreme gebeurtenissen van groot belang kunnen zijn.