Normale verdeling

Wat is Normale verdeling?

De normale verdeling, ook wel de Gauss-verdeling of klokvormige curve genoemd, is een fundamentele continue kansverdeling in de statistiek en kwantitatieve analyse. Het beschrijft hoe waarden van een variabele de neiging hebben te groeperen rondom een centraal punt, het gemiddelde, met symmetrische spreiding aan beide zijden. De normale verdeling wordt gekenmerkt door zijn symmetrische, klokvormige grafiek, waarbij de meerderheid van de data dicht bij het gemiddelde ligt en de frequentie afneemt naarmate men verder van het gemiddelde afwijkt. Belangrijke eigenschappen van de normale verdeling zijn dat het gemiddelde, de mediaan en de modus samenvallen in het midden van de verdeling.¹⁵,¹⁴ De vorm van de normale verdeling wordt volledig bepaald door twee parameters: het gemiddelde ((\mu)) en de standaardafwijking ((\sigma)).,¹³

Geschiedenis en Oorsprong

De concepten die ten grondslag liggen aan de normale verdeling zijn door verschillende wiskundigen ontwikkeld. De Franse wiskundige Abraham de Moivre introduceerde de normale verdeling voor het eerst in 1733 als een benadering van de binomiale verdeling voor grote aantallen experimenten. Later werkten Pierre-Simon Laplace en Carl Friedrich Gauss onafhankelijk van elkaar aan de theorie. Gauss, een Duitse wiskundige en natuurkundige, paste de verdeling uitgebreid toe bij de analyse van fouten in astronomische waarnemingen in het begin van de 19e eeuw, vandaar de alternatieve naam "Gauss-verdeling". Zijn publicatie "Theoria Motus Corporum Coelestium in Sectionibus Conicis Solem Ambientium" uit 1809 legde de basis voor het gebruik ervan in de meetkunde en statistiek. De centrale rol van de normale verdeling in de statistiek werd pas later volledig erkend, met name door het belang van de Centrale Limietstelling.¹²

Kernpunten

• De normale verdeling is een symmetrische, klokvormige kansverdeling.
• Het gemiddelde, de mediaan en de modus vallen samen in een normale verdeling.
• De vorm van een normale verdeling wordt bepaald door zijn gemiddelde ((\mu)) en standaardafwijking ((\sigma)).
• Ongeveer 68% van de data ligt binnen één standaardafwijking van het gemiddelde, 95% binnen twee standaardafwijkingen, en 99,7% binnen drie standaardafwijkingen.
• Ondanks zijn brede toepassing in veel velden, heeft de normale verdeling beperkingen, vooral bij het modelleren van financiële data die vaak "dikke staarten" vertonen.

Formule en Berekening

De kansdichtheidsfunctie (KDF) van een normale verdeling wordt gegeven door de volgende formule:

$f(x | \mu, \sigma^2) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$

Waarin:

• (x) = de waarde van de variabele
• (\mu) = het gemiddelde (verwachtingswaarde) van de verdeling, dat ook de modus en mediaan is
• (\sigma) = de standaardafwijking van de verdeling
• (\sigma^2) = de variantie
• (\pi) (\approx) 3.14159
• (e) (\approx) 2.71828 (de basis van de natuurlijke logaritme)

Deze formule beschrijft de kans op een bepaalde waarde (x) binnen de verdeling, hoewel de kans op een exacte waarde in een continue verdeling nul is; de formule berekent de kansdichtheid.

De Normale verdeling interpreteren

Het interpreteren van de normale verdeling draait om het begrijpen van zijn parameters: het gemiddelde ((\mu)) en de standaardafwijking ((\sigma)). Het gemiddelde ((\mu)) vertegenwoordigt het centrum van de data. De standaardafwijking ((\sigma)) kwantificeert de spreiding of volatiliteit van de data rondom het gemiddelde. Een kleinere standaardafwijking betekent dat de data dichter bij het gemiddelde geclusterd is, wat resulteert in een hogere en smallere klokvormige curve. Een grotere standaardafwijking duidt op een grotere spreiding van de data, wat leidt tot een plattere en bredere curve.

Een belangrijke interpretatietool is de empirische regel, ook wel de 68-95-99.7-regel genoemd:

• Ongeveer 68% van de waarnemingen valt binnen één standaardafwijking van het gemiddelde ((\mu \pm 1\sigma)).
• Ongeveer 95% van de waarnemingen valt binnen twee standaardafwijkingen van het gemiddelde ((\mu \pm 2\sigma)).
• Ongeveer 99,7% van de waarnemingen valt binnen drie standaardafwijkingen van het gemiddelde ((\mu \pm 3\sigma)).,

De¹¹z¹⁰e regel is essentieel voor het snel inschatten van de spreiding van data die normaal verdeeld is.

Hypothetisch voorbeeld

Stel dat we de dagelijkse rendementen van een fictief aandeel, "TechInvest", analyseren over een lange periode. Na data-analyse blijkt dat de dagelijkse rendementen van TechInvest bij benadering normaal verdeeld zijn met een gemiddeld dagelijks rendement ((\mu)) van 0,05% en een standaardafwijking ((\sigma)) van 1,5%.

Met behulp van de eigenschappen van de normale verdeling kunnen we het volgende afleiden:

• Ongeveer 68% van de dagen zal het rendement van TechInvest tussen (\mu - \sigma) en (\mu + \sigma) liggen:
  (0,05% - 1,5% = -1,45%)
  (0,05% + 1,5% = 1,55%)
  Dus, op ongeveer 68% van de dagen ligt het rendement tussen -1,45% en 1,55%.
• Ongeveer 95% van de dagen zal het rendement tussen (\mu - 2\sigma) en (\mu + 2\sigma) liggen:
  (0,05% - (2 \times 1,5%) = -2,95%)
  (0,05% + (2 \times 1,5%) = 3,05%)
  Dus, op ongeveer 95% van de dagen ligt het rendement tussen -2,95% en 3,05%.
• Ongeveer 99,7% van de dagen zal het rendement tussen (\mu - 3\sigma) en (\mu + 3\sigma) liggen:
  (0,05% - (3 \times 1,5%) = -4,45%)
  (0,05% + (3 \times 1,5%) = 4,55%)
  Dus, op ongeveer 99,7% van de dagen ligt het rendement tussen -4,45% en 4,55%.

Dit voorbeeld illustreert hoe de normale verdeling kan helpen bij het begrijpen van de waarschijnlijkheid van verschillende rendementen en het kwantificeren van het risico.

Praktische toepassingen

De normale verdeling heeft tal van praktische toepassingen in financiën en economie:

• Risicobeheer: Het is een fundamentele component in modellen voor risicobeheer, zoals Value at Risk (VaR), dat de potentiële verliezen van een portefeuille schat binnen een bepaald betrouwbaarheidsinterval.
• Optieprijsmodellen: Modellen zoals Black-Scholes, die de prijs van opties berekenen, zijn gebaseerd op de aanname dat de rendementen van de onderliggende activa log-normaal verdeeld zijn, wat betekent dat de logaritme van de rendementen normaal verdeeld is.
• Portefeuilletheorie: In de moderne portefeuilletheorie, met name het Capital Asset Pricing Model (CAPM), wordt vaak aangenomen dat activarendementen normaal verdeeld zijn om risico en rendement te modelleren.
• Kwaliteitscontrole en productie: Buiten financiën wordt de normale verdeling gebruikt in kwaliteitscontroleprocessen om variaties in productafmetingen te monitoren en te beheersen.
• Hypothesetesten en statistische inferentie: Veel statistische tests, zoals t-tests en z-tests, zijn gebaseerd op de aanname van normaliteit of maken gebruik van de Centrale Limietstelling, die stelt dat de verdeling van steekproefgemiddelden de neiging heeft normaal te worden naarmate de steekproefomvang toeneemt, ongeacht de oorspronkelijke populatieverdeling.,,, Dit ⁹m⁸a⁷akt het mogelijk om hypothesetesten uit te voeren en conclusies te trekken over populaties op basis van steekproeven. De centrale limietstelling is een krachtig concept dat impliceert dat probabilistische en statistische methoden die werken voor normale verdelingen, van toepassing kunnen zijn op veel problemen met andere soorten verdelingen.

Beperkingen en kritiek

Hoewel de normale verdeling veelvuldig wordt toegepast, vooral in financiële modellen, zijn er belangrijke beperkingen en kritiekpunten:

• "Dikke staarten" (Fat Tails): Financiële markten vertonen vaak gebeurtenissen met extreme uitschieters (zowel positief als negatief) die veel vaker voorkomen dan de normale verdeling zou voorspellen. Dit fenomeen staat bekend als "dikke staarten" of leptokurtosis. De normale verdeling onderschat hierdoor het risico op grote verliezen. Modellen ⁶die uitgaan van normaliteit kunnen in tijden van marktschokken onvoldoende risico's inschatten, wat kan leiden tot onverwachte verliezen.
• [Sc⁵heefheid](https://diversification.com/term/scheefheid) (Skewness): De normale verdeling is symmetrisch. Echter, financiële data, zoals activarendementen, zijn vaak asymmetrisch; ze kunnen een scheefheid naar links (negatieve scheefheid, meer grote verliezen) of naar rechts (positieve scheefheid, meer grote winsten) vertonen. Dit betekent dat de kansen op bepaalde uitkomsten niet gelijk zijn aan beide zijden van het gemiddelde, wat de normale verdeling niet kan vastleggen.
• Veronderstellingen van onafhankelijkheid: De normale verdeling gaat uit van onafhankelijke waarnemingen. In financiële markten zijn gebeurtenissen echter vaak gecorreleerd, vooral tijdens crises.
• Ineffectiviteit bij extreme gebeurtenissen: De nadruk op het gemiddelde en standaardafwijking in de normale verdeling kan leiden tot een vals gevoel van veiligheid met betrekking tot zeldzame, maar impactvolle gebeurtenissen, zoals de "zwarte zwanen" beschreven door Nassim Nicholas Taleb. De "normale⁴" wereld van de normale verdeling kan de werkelijkheid van financiële markten, die niet altijd normaal verdeeld zijn, tekortdoen. Kritiek op t³raditionele financiële theorieën, die vaak uitgaan van normaliteit, benadrukt de onrealistische aannames en de noodzaak van robuustere modellen.

De beperkinge²n van de normale verdeling betekenen niet dat deze nutteloos is, maar wel dat financiële professionals zich bewust moeten zijn van de aannames en deze, waar nodig, moeten aanvullen met meer geavanceerde statistische methoden die rekening houden met niet-normale verdelingen en statistische inferentie in complexere omgevingen.

Normale verdeling vs. Scheefheid

De normale verdeling is inherent symmetrisch rondom zijn gemiddelde, wat betekent dat de data aan de linker- en rechterkant van het gemiddelde een spiegelbeeld vormen. Scheefheid (skewness) daarentegen is een maatstaf voor de asymmetrie van de kansverdeling van een reële variabele rondom zijn gemiddelde. Een positieve scheefheid duidt op een 'staart' aan de rechterkant van de verdeling, wat betekent dat er meer waarnemingen zijn met relatief hoge waarden, weg van het gemiddelde. Een negatieve scheefheid impliceert een 'staart' aan de linkerkant, wat wijst op meer waarnemingen met relatief lage waarden. In tegenstelling tot de perfect symmetrische normale verdeling, geven verdelingen met scheefheid aan dat de kansen op afwijkingen aan één kant van het gemiddelde groter zijn dan aan de andere kant. Dit is cruciaal in financiën, waar bijvoorbeeld negatieve scheefheid in rendementen betekent dat er een grotere kans is op grote negatieve uitschieters dan op even grote positieve uitschieters.

Veelgestelde vragen

Waarom is de normale verdeling zo belangrijk?

De normale verdeling is belangrijk omdat veel natuurlijke fenomenen en statistische processen, vooral gemiddelden van grote datasets, de neiging hebben om deze verdeling te volgen, zelfs als de onderliggende data niet normaal verdeeld is, dankzij de Centrale Limietstelling. Dit maakt het een krachtig hulpmiddel voor statistische inferentie en modellering in diverse gebieden, waaronder financiën.

Wat betekent het als data "normaal verdeeld" is?

Als data "normaal verdeeld" is, betekent dit dat de waarden symmetrisch rond een gemiddelde zijn geclusterd, met de meeste waarnemingen dicht bij het gemiddelde en steeds minder waarnemingen naarmate men verder van het gemiddelde afwijkt. De verdeling heeft een kenmerkende klokvorm.

Hoe beïnvloedt de standaardafwijking de normale verdeling?

De standaardafwijking ((\sigma)) bepaalt de spreiding van de normale verdeling. Een kleinere standaardafwijking leidt tot een smallere en hogere klokvormige curve, wat aangeeft dat de data strakker rond het gemiddelde geclusterd is. Een grotere standaardafwijking resulteert in een bredere en plattere curve, wat duidt op een grotere spreiding van de data. De kans op extreme waarden neemt toe met een grotere standaardafwijking.