Normalverteilung

Was Ist Normalverteilung?

Die Normalverteilung, auch bekannt als Gauß-Verteilung oder Glockenkurve, ist eine der wichtigsten und am häufigsten verwendeten Wahrscheinlichkeitsverteilungen in der Statistik und Finanzmathematik. S⁹¹, ⁹²ie beschreibt, wie Datenpunkte um einen zentralen Mittelwert herum verteilt sind. C⁹⁰harakteristisch für die Normalverteilung ist ihre symmetrische Form, die an eine Glocke erinnert, wobei die höchste Konzentration der Daten um den Mittelwert liegt und die Häufigkeit der Werte mit zunehmender Entfernung vom Mittelwert auf beiden Seiten gleichmäßig abnimmt.

Viele⁸⁸, ⁸⁹ natürliche Phänomene sowie Messungen in der Wirtschaft und Wissenschaft folgen dieser Verteilung oder können zumindest näherungsweise durch sie beschrieben werden. In der Fin⁸⁷anzwelt wird die Normalverteilung häufig zur Modellierung von Renditen oder zur Bewertung von Risiken verwendet, obwohl ihre Annahmen in der Praxis auch kritisch hinterfragt werden.

History⁸⁵, ⁸⁶ and Origin

Die Ursprünge der Normalverteilung reichen bis ins frühe 18. Jahrhundert zurück. Im Jahr 1733 veröffentlichte der französische Mathematiker Abraham de Moivre in seinem Werk "The Doctrine of Chances" eine Abschätzung des Binomialkoeffizienten, die als eine frühe Form der Normalverteilung interpretiert werden kann. Er nutzte diese, um die Approximation der Binomialverteilung für eine große Anzahl von Versuchen zu beschreiben.

Später, im frühen 19. Jahrhundert, entwickelte der deutsche Mathematiker Carl Friedrich Gauss die Normalverteilung unabhängig von de Moivre weiter, während er sich mit der Analyse von Fehlern bei astronomischen Messungen befasste. Seine Arbeit im Jahr 180⁸⁴9 im Werk "Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis solem ambientium" legte die Grundlage für die heute weit verbreitete Anwendung der Normalverteilung in den Natur- und Ingenieurwissenschaften. Der Begriff "Normal Curve of Distribution" wurde Francis Galton im Jahr 1889 zugeschrieben. Die Bedeutung der Normalverteilung wurde durch den Zentralen Grenzwertsatz weiter untermauert, der besagt, dass die Summe einer großen Anzahl unabhängiger Zufallsvariablen unter bestimmten Bedingungen annähernd normalverteilt ist. Die Universität York bietet ⁸³weitere Einblicke in die historische Entwicklung der Normalverteilung.

Key Takeaways

Die No⁸²rmalverteilung ist eine symmetrische, glockenförmige Wahrscheinlichkeitsverteilung, die durch ihren Mittelwert und ihre Standardabweichung vollständig definiert ist.
Der Mittelwert, Median und ⁸⁰, ⁸¹Modus einer perfekten Normalverteilung sind identisch und liegen im Zentrum der Kurve.
Sie ist fundamental für vie⁷⁸, ⁷⁹le statistische Methoden und wird oft angenommen, um Daten zu modellieren, Hypothesen zu testen und Risiken zu bewerten.
Die "Empirische Regel" (68-9⁷⁶, ⁷⁷5-99.7-Regel) besagt, dass etwa 68 % der Daten innerhalb einer Standardabweichung, 95 % innerhalb von zwei Standardabweichungen und 99,7 % innerhalb von drei Standardabweichungen vom Mittelwert liegen.
In der Finanzwelt wird die N⁷⁴, ⁷⁵ormalverteilung häufig für die Risikobewertung und Optionspreismodelle verwendet, obwohl ihre Annahmen in der Realität oft nicht vollständig zutreffen.

Formula and Calculation

Die Wah⁷², ⁷³rscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF) der Normalverteilung, oft als Gauß-Funktion bezeichnet, beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zufallsvariable einen bestimmten Wert annimmt.

Die Formel für die Wahrscheinlichkei⁷¹tsdichtefunktion ( f(x) ) einer Normalverteilung lautet:

f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}[^70^](https://www.studysmarter.de/schule/mathe/stochastik/normalverteilung/) e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}

Dabei sind:

( x ): Der Wert der Zufallsvariable.
( \mu ) (Mü): Der Mittelwert der Verteilung, der das Zentrum der Glockenkurve angibt.
( \sigma ) (Sigma): Die [Standard⁶⁸abweichung](https://diversification.com/term/standardabweichung) der Verteilung, die die Streuung oder Breite der Glockenkurve misst.
( \pi ): Die Kreiszahl (ca. 3.141⁶⁷59).
( e ): Die Eulersche Zahl (Basis ⁶⁶des natürlichen Logarithmus, ca. 2.71828).

Die Berechnung des Mittelwerts und der ⁶⁵Standardabweichung aus einem Datensatz sind grundlegende Schritte, um eine Normalverteilung zu charakterisieren.

Interpreting the Normalverteilung

D⁶⁴ie Interpretation der Normalverteilung konzentriert sich auf ihren Mittelwert und ihre Standardabweichung, da diese beiden Parameter die Form und Lage der Glockenkurve vollständig bestimmen.

Mittelwert ((\mu)): Der Mittel⁶², ⁶³wert repräsentiert das Zentrum der Verteilung. Er ist der Wert, um den sich die Daten am dichtesten gruppieren, und entspricht dem Gipfel der Glockenkurve. Er ist auch der Median und der Modus der V⁶⁰, ⁶¹erteilung.
Standardabweichung ((\sigma)): D⁵⁹ie Standardabweichung ist ein Maß für die Streuung oder Volatilität der Datenpunkte um den Mittelwert. Eine kleinere Standardabweichung deutet auf e⁵⁸ine engere, spitzere Glockenkurve hin, was bedeutet, dass die Datenpunkte näher am Mittelwert liegen und weniger streuen. Eine größere Standardabweichung führt zu einer⁵⁷ breiteren, flacheren Kurve, was auf eine größere Streuung der Daten hinweist.

Die sogenannte "Empirische Regel" oder 68-95-99.7-⁵⁶Regel ist entscheidend für die Interpretation. Sie besagt, dass in einer Normalverteilung:

Etwa⁵⁴, ⁵⁵ 68 % der Daten innerhalb einer Standardabweichung ((\pm 1\sigma)) vom Mittelwert liegen.
Etwa 95 % der Daten innerhalb von zwei Standarda⁵³bweichungen ((\pm 2\sigma)) vom Mittelwert liegen.
Etwa 99,7 % der Daten innerhalb von drei Standar⁵²dabweichungen ((\pm 3\sigma)) vom Mittelwert liegen.

Diese Regel ermöglicht es, die [Wahrscheinlichkeit]⁵¹(https://diversification.com/term/wahrscheinlichkeit) zu bestimmen, dass ein zufällig ausgewählter Wert in einem bestimmten Bereich liegt.

Hypothetical Example

Stellen Sie sich vor, ein Vermögensverwalter möchte die monatliche Rendite einer bestimmten Aktie analysieren, um das potenzielle Risiko zu bewerten. Angenommen, die historische Stichprobe der monatlichen Renditen über einen langen Zeitraum zeigt einen Mittelwert ((\mu)) von 0,5 % und eine Standardabweichung ((\sigma)) von 3 %.

Wenn wir annehmen, dass die monatlichen Renditen normalverteilt sind, können wir die Verteilung wie folgt interpretieren:

Mittelwert: Die durchschnittliche erwartete monatliche Rendite liegt bei 0,5 %.
Bereich der normalen Schwankungen:
- ( \pm 1\sigma ): Etwa 68 % der monatlichen Renditen liegen zwischen ( \mu - 1\sigma ) und ( \mu + 1\sigma ). Das wären ( 0,5% - 3% = -2,5% ) und ( 0,5% + 3% = 3,5% ). Das bedeutet, mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa 68 % wird die monatliche Rendite zwischen -2,5 % und 3,5 % liegen.
- ( \pm 2\sigma ): Etwa 95 % der monatlichen Renditen liegen zwischen ( \mu - 2\sigma ) und ( \mu + 2\sigma ). Das wären ( 0,5% - 2 \times 3% = -5,5% ) und ( 0,5% + 2 \times 3% = 6,5% ). Mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa 95 % wird die monatliche Rendite zwischen -5,5 % und 6,5 % liegen.
- ( \pm 3\sigma ): Etwa 99,7 % der monatlichen Renditen liegen zwischen ( \mu - 3\sigma ) und ( \mu + 3\sigma ). Das wären ( 0,5% - 3 \times 3% = -8,5% ) und ( 0,5% + 3 \times 3% = 9,5% ). Fast alle monatlichen Renditen (99,7 %) sollten in diesem Bereich von -8,5 % bis 9,5 % liegen.

Dieses Beispiel zeigt, wie die Normalverteilung dazu beitragen kann, die Spanne der erwarteten Ergebnisse und die Wahrscheinlichkeit extremer Ereignisse abzuschätzen, wenn auch mit den bekannten Einschränkungen für reale Finanzdaten.

Practical Applications

Die Normalverteilung findet in der Finanzwelt und darüber hinaus zahlreiche praktische Anwendungen:

Finanzmodelle und Optionspreisgestaltung: Das berühmte Black-Scholes-Merton-Modell zur Optionspreisbewertung basiert auf der Annahme, dass die Renditen des Basiswerts log-normalverteilt sind, was impliziert, dass die logarithmischen Renditen normalverteilt sind. Dies ermöglicht die Berechnung theoretischer Optionspreise und ist ⁴⁸, ⁴⁹, ⁵⁰ein Eckpfeiler der Finanzmärkte.
Risikomanagement und Value at Risk (VaR): Im [Risikomanagemen⁴⁷t](https://diversification.com/term/risikomanagement) wird die Normalverteilung verwendet, um potenzielle Verluste in Portfolios abzuschätzen. Der Value at Risk (V⁴⁶aR), ein weit verbreitetes Risikomaß, quantifiziert den maximalen Verlust, den ein Portfolio über einen bestimmten Zeitraum mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit erleiden kann, oft unter Annahme normalverteilter Renditen.
Portfoliotheorie: In der modernen Portfoliotheorie wird oft angenommen, dass die Renditen von Vermögenswerten normalverteilt sind, um die Portfolio-Diversifikation zu optimieren und das Risiko-Rendite-Profil zu analysieren.
Statistische Analyse von Marktdaten: Analysten verwenden die Norm⁴⁴alverteilung zur statistischen Analyse von Marktdaten, um Trends, Muster und Anomalien zu identifizieren. Sie hilft, die Streuung von Renditen zu verstehen und Wahrscheinlichkeiten für zukünftige Preisbewegungen abzuschätzen.
Simulationen: Die Normalverteilung wird als Grundlage für [Monte-Car⁴³lo-Simulationen](https://diversification.com/term/monte-carlo-simulation) verwendet, insbesondere in der Finanzmodellierung, um eine Vielzahl möglicher Szenarien für Vermögenspreise oder Portfolio-Werte zu generieren.

Die CFA Institute bietet weitere Informationen zur Anwendung von Renditeverteil⁴²ungen in der Finanzanalyse.

Limitations and Criticisms

Obwohl die Normalverteilung in vielen Bereichen ⁴¹weit verbreitet ist, gibt es erhebliche Einschränkungen und Kritikpunkte, insbesondere in der Finanzwelt:

"Fat Tails" (Dicke Enden): Finanzmärkte zeigen häufig extreme Ereignisse (Marktcrashes, starke Aufwärtsbewegungen), die in der Realität wesentlich häufiger auftreten, als es die Normalverteilung vorhersagen würde. Dieses Phänomen wird als "Fat Tails" bezeichnet, bei dem die Enden der tatsächlichen Ve³⁹, ⁴⁰rteilung dicker sind als die der Normalverteilung. Dies bedeutet, dass Modelle, die eine Normalverteilung annehmen, das tatsächliche [Marktr³⁷, ³⁸isiko](https://diversification.com/term/marktvolatilitat) und die Wahrscheinlichkeit seltener, aber schwerwiegender Ereignisse unterschätzen können.
Asymmetrie (Schiefe): Im Gegensatz zur perfekt symmetrischen Normalverteilung weisen³⁴, ³⁵, ³⁶ reale Finanzdaten, wie z.B. Aktienrenditen, oft eine Asymmetrie oder Schiefe auf. Positive Schiefe bedeutet, dass es mehr kleine Verluste und einige große Gewinne gibt, währe³³nd negative Schiefe auf mehr kleine Gewinne und einige große Verluste hindeutet. Die Normalverteilung kann solche Asymmetrien nicht adäquat abbilden.
Konstante Volatilitä³¹, ³²t: Viele Modelle, die auf der Normalverteilung basieren (wie das urs³⁰prüngliche Black-Scholes-Modell), gehen von einer konstanten Volatilität über die Zeit aus. In der Realität schwankt die Volatilität jedoch dynamisch und ist oft nicht konstant.
Sprünge und Diskontinuitäten: Die Normalverteilung ist eine kontinuierliche Verteilung und kan²⁹n plötzliche "Sprünge" in den Finanzmärkten, wie sie bei Nachrichtenereignissen oder Krisen auftreten, nicht erfassen.
Empirische Abweichungen: Empirische Studien haben wiederholt gezeigt, dass die Renditen von Finanzanlagen oft nicht perfekt normalverteilt sind. Der Finanzhistoriker Benoit Mandelbrot war ein prominenter Kritiker der Annahme der Normalverteilung in der²⁸ Finanzwirtschaft und betonte die Bedeutung von Fraktalen und "Wilder Zufälligkeit" zur Beschreibung der Märkte. Die New York Times berichtete über seine kritische Perspektive.

Das Financial Times analysierte, wie die²⁷ Finanzkrise die Annahme der Normalverteilung infrage stellte.

Normalverteilung vs. Schiefe

Die Normalverteilung un²⁶d die Schiefe (Skewness) sind beides Konzepte aus der Statistik, die die Form einer Datenverteilung beschreiben, jedoch unterschiedliche Aspekte beleuchten.

Merkmal	Normalverteilung	Schiefe (Skewness)
Beschreibung	Eine spezifische, symmetrische Glockenform-Verteilung.	Ein Maß für die Asymmetrie einer Verteilung. ²⁴, ²⁵
Symmetrie	Perfekt symmetrisch um ²², ²³ihren Mittelwert. Die linke und rechte Seite sind Spiegelbilder.	Beschreibt, ob die Verteilung nach links (negativ schief) oder rechts (positiv schief) verzerrt ist. ²¹
Mittelwert/Median/Modus	Alle drei sind identisch und liegen im Zentrum der Verteilung. ¹⁹, ²⁰	Bei positiver Schiefe ist der Mittelwert größer als der Median; bei negativer Schi¹⁸efe ist der Mittelwert kleiner als der Median.
Wert	Nicht direkt ein einzelner "Wert", sondern eine Verteilungsform. ¹⁷	Ein numerischer Koeffizient, der für eine Normalverteilung 0 ist. Positive Werte zeigen Rechtsschiefe, negative Werte Linksschiefe.
Implikation	Häufige Annahme in Modell¹⁶en aufgrund ihrer mathematischen Eigenschaften und des Zentralen G¹⁴, ¹⁵renzwertsatzes.	Zeigt an, ob extreme Werte eher auf einer Seite der Verteilung liegen, was für die Risikobewertung wichtig ist.

Während die Normalverteilung eine Idealform der Symmetrie darstellt, misst die Schiefe, wie stark eine tatsächlich¹³e Verteilung von dieser Symmetrie abweicht. Für Anleger ist dies wichtig, da Renditeverteilungen an den Finanzmärkten oft eine gewisse Schiefe aufweisen, was bedeu¹²tet, dass die Annahme einer perfekten Normalverteilung Risiken und Ertragsmöglichkeiten falsch einschätzen kann.

FAQs

Was bedeutet es, wenn Daten normalverteilt sind?

Wenn Daten normalverteilt sind, bedeutet dies, dass sie symm¹¹etrisch um ihren Mittelwert verteilt sind und eine charakteristische glockenförmige Kurve bilden. Die meisten Datenpunkte liegen nahe am Mittelwert, und die Häufigkeit extremer Werte nimmt nach beiden Seiten hin gleichmäßig ab.

Warum ist die Normalverteilung in der Finanzwelt so wichtig?

Die Normalverteilung ist in der Finanzwelt wichtig, weil sie ⁹, ¹⁰eine mathematisch gut handhabbare Grundlage für viele Modelle des Risikomanagements, der Optionspreisgestaltung und der Portfoliotheorie bietet. Sie ermöglicht es, Wahrscheinlichkeiten von Renditen und Verlusten zu schätzen und Finanzinstrumente zu bewerten.

Was sind "Fat Tails" im Zusammenhang mit der Normalverteilung?

"Fat Tails" (Dicke Enden) beziehen sich auf das Phänomen, dass⁷, ⁸ reale Daten, insbesondere an den Finanzmärkten, eine höhere Häufigkeit extremer Ausreißer aufweisen, als es die Normalverteilung vorhersagen würde. Dies bedeutet, dass sehr große Gewinne oder Verluste häufiger auftreten, als man es bei einer strikten Normalverteilung erwarten würde.
⁵, ⁶

Wie kann man feststellen, ob Daten normalverteilt sind?

Die Normalität eines Datensatzes ⁴ kann durch visuelle Inspektion (z.B. Histogramme, QQ-Plots) oder durch statistische Tests (z.B. Shapiro-Wilk-Test, Kolmogorov-Smirnov-Test) überprüft werden. Es ist jedoch wichtig zu beachten, dass reale Daten selten perfekt normalverteilt sind.

Was ist der Unterschied zwischen Normalverteilung und Standardnormalverteilung?

Die Normalverteilung ist eine allgemeine Form der Wahrsch³einlichkeitsverteilung, die durch ihren Mittelwert ( \mu ) und ihre Standardabweichung ( \sigma ) definiert ist. Die Standardnormalverteilung ist ein Spezialfall der Normalverteilung, bei der der Mittelwert ( \mu = 0 ) und die Standardabweichung ( \sigma = 1 ) ist. Jede Normalverteilung kann in eine Standardnormalverteilung umgerechnet werden, was Vergleiche und Berechnungen vereinfacht.¹, ²