Regressione

Cos'è la Regressione?

La regressione è una metodologia statistica utilizzata per modellare e analizzare la relazione tra una variabile dipendente e una o più variabili indipendenti. Nell'ambito dell'analisi quantitativa, la regressione consente di prevedere il valore della variabile dipendente basandosi sui valori delle variabili indipendenti e di comprendere in che modo queste ultime influenzano la prima. L'obiettivo principale della regressione è stimare la relazione condizionale media tra le variabili, permettendo così di effettuare previsioni o di inferire relazioni causali, sebbene la regressione da sola riveli solo le associazioni.

Storia e Origine

Il termine "regressione" fu coniato nel XIX secolo dal poliedrico scienziato britannico Sir Francis Galton. Galton, interessato allo studio dell'ereditarietà, osservò un fenomeno biologico in cui le caratteristiche estreme (come l'altezza) dei genitori tendevano a "regredire" o tornare verso la media nella prole. Per esempio, i figli di genitori molto alti tendevano ad essere più bassi dei genitori, ma comunque più alti della media generale. Questa osservazione lo portò a pubblicare il suo lavoro "Regression towards mediocrity in hereditary stature" nel 1886. Sebbene il concetto di minimi quadrati, che è fondamentale per la regressione, fosse stato sviluppato in precedenza da Adrien-Marie Legendre e Carl Friedrich Gauss all'inizio del 1800 per problemi astronomici, fu Galton a introdurre il termine "regressione" nel contesto statistico. Il suo lavoro fu successivamente ampliato da statistici come Karl Pearson, che formalizzarono le basi matematiche di quella che oggi conosciamo come analisi di regressione lineare.

Punti ¹⁹, ²⁰, ²¹, ²², ²³, ²⁴, ²⁵, ²⁶, ²⁷, ²⁸, ²⁹Chiave

La regressione è uno strumento statistico per modellare la relazione tra variabili.
Permette di prevedere i valori di una variabile dipendente in base ai valori delle variabili indipendenti.
È ampiamente utilizzata in economia e finanza per la previsione e l'analisi delle relazioni.
Il coefficiente di regressione quantifica l'impatto di una variabile indipendente sulla variabile dipendente.
È essenziale comprendere le sue limitazioni e le assunzioni sottostanti per un'interpretazione accurata.

Formula e Calcolo

La forma più comune è la regressione lineare semplice, che modella la relazione tra due variabili con una linea retta. La sua formula è:

$Y = \beta_0 + \beta_1 X + \epsilon$

Dove:

( Y ) è la variabile dipendente (la variabile che si sta cercando di prevedere o spiegare).
( X ) è la variabile indipendente (la variabile utilizzata per prevedere ( Y )).
( \beta_0 ) (beta zero) è l'intercetta, ovvero il valore previsto di ( Y ) quando ( X ) è zero.
( \beta_1 ) (beta uno) è il coefficiente di regressione per ( X ), che rappresenta il cambiamento medio nel valore di ( Y ) per ogni unità di cambiamento in ( X ).
( \epsilon ) (epsilon) è il termine di errore o residui, che rappresenta la parte della variabile dipendente che il modello non è in grado di spiegare.

Nella regressione multipla, la formula si estende per includere più variabili indipendenti:

$Y = \beta_0 + \beta_1 X_1 + \beta_2 X_2 + ... + \beta_n X_n + \epsilon$

In questo caso, ogni ( \beta_i ) rappresenta l'effetto di ( X_i ) su ( Y ) mantenendo costanti le altre variabili indipendenti. I coefficienti ( \beta ) sono tipicamente stimati utilizzando il metodo dei minimi quadrati ordinari (OLS), che minimizza la somma dei quadrati dei residui.

Interpretazione della Regressione

Interpretare i risultati di un'analisi di regressione implica comprendere il significato dei coefficienti di regressione, la significatività statistica e l'adeguatezza complessiva del modello lineare. Ogni coefficiente ( \beta_i ) indica di quanto si prevede che la variabile dipendente cambi per ogni aumento unitario della variabile indipendente corrispondente, assumendo che tutte le altre variabili rimangano costanti.

È fondamentale non confondere correlazione con causalità. La regressione può mostrare una relazione statistica tra variabili, ma non prova necessariamente che una variabile causi il movimento dell'altra. Un'analisi accurata richiede la considerazione di possibili variabili latenti o fattori esterni che potrebbero influenzare la relazione osservata. La valutazione del modello lineare include anche l'esame della bontà di adattamento (R-quadro), che indica la proporzione della varianza nella variabile dipendente spiegata dalle variabili indipendenti.

Esempio Ipotetico

Supponiamo che un analista finanziario voglia capire come i tassi di interesse influenzano i rendimenti del mercato azionario. L'analista raccoglie dati storici sui tassi di interesse (variabile indipendente, ( X )) e sui rendimenti medi annuali di un indice di mercato (variabile dipendente, ( Y )).

Dopo aver eseguito un'analisi di regressione, l'analista ottiene la seguente equazione:

$RendimentiAzionari = 0.12 - 0.015 \times TassiInteresse$

In questo modello lineare ipotetico:

L'intercetta (0.12) suggerisce che, se i tassi di interesse fossero zero, il rendimento atteso dell'indice azionario sarebbe del 12%.
Il coefficiente di regressione (-0.015) per i tassi di interesse indica che per ogni aumento di un punto percentuale nei tassi di interesse, i rendimenti azionari previsti diminuiscono di 0.015, o 1.5 punti percentuali.

Questo esempio mostra come la regressione possa fornire un'indicazione quantitativa della relazione tra tassi di interesse e rendimenti azionari, aiutando a formulare ipotesi e prendere decisioni.

Applicazioni Pratiche

La regressione è uno strumento fondamentale in diversi settori della finanza e dell'economia:

Valutazione del Rischio: Le banche utilizzano la regressione per stimare la probabilità di default di un prestito basandosi su fattori come il punteggio di credito, il reddito e il rapporto debito/reddito.
Previsione Economica: I governi e le istituzioni finanziarie la impiegano per prevedere indicatori economici come il PIL, l'inflazione e la disoccupazione, utilizzando dati di serie temporali. La Federal Reserve Bank di San Francisco, ad esempio, ha discusso l'uso di modelli di previsione, spesso basati sulla regressione, per comprendere l'economia e le sue risposte a eventi come la Grande Recessione.
Gestione del Portafoglio:¹⁸ Gli investitori la utilizzano per analizzare come i rendimenti di un asset specifico (ad esempio, un'azione) si relazionano ai rendimenti del mercato generale (calcolo del Beta). Un'analisi della relazione tra tassi di interesse e prezzi delle azioni è un esempio classico di applicazione della regressione in finanza.
Finanza Comportamentale: P¹⁶, ¹⁷uò aiutare a identificare come fattori psicologici influenzino le decisioni di investimento, modellando le reazioni del mercato a determinati eventi.
Regolamentazione: Le autorità di regolamentazione finanziaria possono usare la regressione per identificare anomalie o potenziali manipolazioni di mercato.

Queste applicazioni dimostrano la versatilità della regressione come strumento di analisi quantitativa per prendere decisioni informate e comprendere dinamiche complesse.

Limitazioni e Critiche

Nonostante la sua utilità, la regressione presenta diverse limitazioni e critiche. È cruciale essere consapevoli di queste per evitare interpretazioni errate dei risultati:

Assunzione di Linearità: I modelli di regressione lineare assumono una relazione lineare tra la variabile dipendente e le variabili indipendenti. Se la relazione reale è non lineare, un modello lineare potrebbe fornire previsioni imprecise.
Multicollinearità: Si verifica quando due o più variabili indipendenti sono altamente correlate tra loro. Questo può rendere difficile isolare l'effetto individuale di ciascuna variabile e portare a coefficienti di regressione instabili.
[Eteroschedasticità](https://diversific[¹³](https://batuhanfstk.medium.com/the-origin-of-the-concept-of-regression-and-the-general-problems-encountered-during-regression-3b31aa111085), ¹⁴, ¹⁵ation.com/term/eteroschedasticità): Si riferisce alla situazione in cui la varianza dei residui non è costante per tutti i livelli delle variabili indipendenti. Questo viola un'assunzione chiave del metodo dei minimi quadrati ordinari e può portare a stime dei parametri inefficienti.
Sensibilità ai Valori anomali: I risultati della regressione possono essere fortemente influenzati da valori anomali (outlier) nei dati, che possono distorcere la linea di regressione e i coefficienti stimati.
Correlazione non implica causalità: Una delle critiche più importanti è che la regressione mostra solo l'associazione statistica tra le variabili, non necessariamente una relazione di causa-effetto. Spesso, una terza variabile non inclusa nel modello potrebbe essere la vera causa della relazione osservata, portando a una "regressione spuria".
Estrapolazione: Utilizzare un modello di regr⁶, ⁷, ⁸, ⁹, ¹⁰essione per fare previsioni al di fuori dell'intervallo dei dati osservati (estrapolazione) può essere rischioso e portare a risultati inaffidabili.

Comprendere queste assunzioni e limitazioni è essenziale per un'applicazione e un'interpretazione responsabile della regressione.

Regressione vs. Correlazione

Sebbene strettamente correlate e spesso confuse, la regressione e la correlazione misurano aspetti diversi della relazione tra variabili.

La correlazione quantifica la forza e la direzione di una relazione lineare tra due variabili. Un coefficiente di correlazione varia da -1 a +1, dove +1 indica una perfetta relazione lineare positiva, -1 una perfetta relazione lineare negativa e 0 nessuna relazione lineare. La correlazione non implica una relazione di causa ed effetto; misura semplicemente quanto le variabili tendono a muoversi insieme.

La regressione, d'altra parte, va oltre la semplice misurazione dell'associazione. Essa mira a modellare la relazione tra una variabile dipendente e una o più variabili indipendenti al fine di prevedere il valore della variabile dipendente o di comprendere l'influenza delle variabili indipendenti. Mentre la correlazione è simmetrica (la correlazione tra A e B è uguale a quella tra B e A), la regressione è asimmetrica: si specifica quale variabile è considerata dipendente e quale indipendente. In sintesi, la correlazione descrive una co-variazione, mentre la regressione cerca di spiegare o prevedere questa co-variazione attraverso un modello lineare.

FAQs

Che cos'è un "modello di regressione"?

Un [mod¹, ², ³, ⁴, ⁵ello lineare](https://diversification.com/term/modello-lineare) di regressione è un'equazione matematica che descrive come una variabile dipendente cambia in base ai cambiamenti di una o più variabili indipendenti. L'obiettivo è stimare i coefficienti di regressione che rappresentano l'intensità e la direzione di queste relazioni.

Qual è la differenza tra regressione lineare semplice e multipla?

La regressione lineare semplice esamina la relazione tra una sola variabile indipendente e una variabile dipendente. La regressione multipla, invece, considera due o più variabili indipendenti per prevedere la variabile dipendente, permettendo un'analisi più complessa e realistica.

La regressione può essere utilizzata per prevedere i prezzi delle azioni?

Sì, la regressione può essere impiegata per la previsione dei prezzi delle azioni o di altri asset finanziari. Tuttavia, è importante riconoscere che il mercato azionario è influenzato da numerosi fattori, inclusi quelli non quantificabili, rendendo la previsione intrinsecamente complessa e non garantita. I modelli di regressione possono aiutare a identificare tendenze e relazioni, ma non eliminano il rischio o l'incertezza.