Optionspreismodell

Optionspreismodell: Definition, Formel, Beispiel und FAQs

Ein Optionspreismodell ist ein mathematisches Rahmenwerk, das zur Bestimmung des theoretischen Werts von Optionen verwendet wird. Es gehört zur Kategorie der Finanzderivate und der Finanzmathematik, da es komplexe Berechnungen nutzt, um zukünftige Preisbewegungen und andere Faktoren zu berücksichtigen. Das Hauptziel eines Optionspreismodells ist es, den beizulegenden Zeitwert einer Option unter Berücksichtigung verschiedener relevanter Variablen zu schätzen, was es Händlern und Investoren ermöglicht, fundierte Entscheidungen zu treffen und Arbitragemöglichkeiten zu identifizieren. Ein Optionspreismodell hilft dabei, ob eine Option über- oder unterbewertet ist.

History and Origin

Die Geschichte der Optionspreismodelle ist eng mit der Entwicklung der modernen Finanztheorie verbunden. Vor den 1970er Jahren gab es keine standardisierte oder weit anerkannte Methode zur Bewertung von Optionen, was ihren Handel erschwerte und auf wenige professionelle Marktteilnehmer beschränkte. Ein bahnbrechender Moment war die Veröffentlichung des Black-Scholes-Merton-Modells im Jahr 1973 durch Fischer Black, Myron Scholes und Robert Merton. Dieses Modell revolutionierte die Finanzwelt, indem es eine geschlossene Formel zur Bewertung europäischer Kaufoptionen bereitstellte. Die Royal Swedish Academy of Sciences würdigte die Arbeit von Robert C. Merton und Myron S. Scholes im Jahr 1997 mit dem Nobel-Gedächtnispreis für Wirtschaftswissenschaften, da ihre Methodik den Weg für wirtschaftliche Bewertungen in vielen Bereichen ebnete und neue Finanzinstrumente sowie ein effizienteres Risikomanagement ermöglichte. Obwohl das Black⁴-Scholes-Merton-Modell das bekannteste ist, wurden auch andere Modelle wie das Binomialmodell entwickelt, um die Bewertung von Optionen, insbesondere amerikanischer Optionen, zu ermöglichen.

Key Takeaways

Ein Optionspreismodell ist ein mathematisches Werkzeug zur Ermittlung des theoretischen Werts einer Option.
Das Black-Scholes-Merton-Modell ist das bekannteste und einflussreichste Optionspreismodell.
Wichtige Eingaben für Optionspreismodelle umfassen den Preis des Basiswerts, den Ausübungspreis, die Volatilität, den Zinssatz und die Restlaufzeit.
Modelle wie Black-Scholes sind grundlegend für den Optionshandel und das Hedging.
Trotz ihrer Nützlichkeit haben Optionspreismodelle Einschränkungen, insbesondere aufgrund ihrer Annahmen über Marktbedingungen.

Formula and Calculation

Das bekannteste Optionspreismodell ist das Black-Scholes-Merton-Modell, das den Preis einer europäischen Kaufoption (Call-Option) mithilfe der folgenden Formel berechnet:

C = S_0 N(d_1) - K e^{-rT} N(d_2)

Wobei:

(C) = Preis der Kaufoption
(S_0) = Aktueller Preis des Basiswerts
(K) = Ausübungspreis der Option
(e) = Eulersche Zahl (ungefähr 2.71828)
(r) = risikofreier Zinssatz (jährlich und stetig verzinst)
(T) = Restlaufzeit bis zum Verfallsdatum (in Jahren)
(N(x)) = Kumulative Standardnormalverteilungsfunktion
(d_1) und (d_2) sind definiert als:

d_1 = \frac{\ln(S_0/K) + (r + \sigma^2/2)T}{\sigma \sqrt{T}}

d_2 = d_1 - \sigma \sqrt{T}

Wobei:

(\ln) = Natürlicher Logarithmus
(\sigma) = Volatilität des Basiswerts (Standardabweichung der jährlichen Renditen)

Die Formel für eine europäische Verkaufsoption (Put-Option) lautet analog:

P = K e^{-rT} N(-d_2) - S_0 N(-d_1)

Optionspreismodelle wie das Black-Scholes-Merton-Modell basieren auf bestimmten Annahmen, wie zum Beispiel, dass der Basiswert keine Dividende zahlt und die Option nur am Verfallsdatum ausgeübt werden kann. Das Binomialmodell oder die Monte-Carlo-Simulation bieten alternative Ansätze, die flexibler in Bezug auf diese Annahmen sein können.

Interpreting the Optionspreismodell

Ein Optionspreismodell liefert einen theoretischen Preis, der als Referenzpunkt für den Optionshandel dient. Ist der am Markt gehandelte Preis einer Option deutlich höher als der durch das Modell berechnete Wert, könnte die Option überbewertet sein. Umgekehrt, wenn der Marktpreis niedriger ist, könnte sie unterbewertet sein. Händler nutzen diese Erkenntnisse, um potenzielle Arbitrage-Möglichkeiten zu finden oder um ihre Handelsstrategien anzupassen. Die Modelle helfen auch, die Sensitivität des Optionspreises gegenüber Änderungen der Eingabeparameter zu verstehen, was als "Griechen" bezeichnet wird (z.B. Delta). Ein genaues Optionspreismodell ist unerlässlich für das Management von Optionspositionen und die Umsetzung komplexer Optionsstrategien.

Hypothetical Example

Nehmen wir an, Sie möchten den Preis einer europäischen Kaufoption auf die Aktie XYZ mit den folgenden Parametern bewerten:

Aktueller Aktienkurs ((S_0)): 100 EUR
Ausübungspreis ((K)): 105 EUR
Restlaufzeit ((T)): 0,5 Jahre (6 Monate)
Risikofreier Zinssatz ((r)): 1% pro Jahr (0,01)
Volatilität ((\sigma)): 20% pro Jahr (0,20)

Zuerst berechnen wir (d_1) und (d_2):

d_1 = \frac{\ln(100/105) + (0.01 + 0.20^2/2)0.5}{0.20 \sqrt{0.5}}

d_1 = \frac{-0.04879 + (0.01 + 0.02)0.5}{0.20 \times 0.7071}

d_1 = \frac{-0.04879 + 0.015}{0.14142} = \frac{-0.03379}{0.14142} \approx -0.239

d_2 = d_1 - \sigma \sqrt{T} = -0.239 - 0.20 \times 0.7071 = -0.239 - 0.14142 \approx -0.380

Als Nächstes bestimmen wir (N(d_1)) und (N(d_2)) mithilfe einer Standardnormalverteilungstabelle oder einer Funktion:

(N(-0.239)) ≈ 0.4055
(N(-0.380)) ≈ 0.3520

Setzen wir diese Werte in die Black-Scholes-Formel ein:

C = 100 \times 0.4055 - 105 \times e^{-0.01 \times 0.5} \times 0.3520

C = 40.55 - 105 \times e^{-0.005} \times 0.3520

C = 40.55 - 105 \times 0.9950 \times 0.3520

C = 40.55 - 36.80 \approx 3.75

Der theoretische Preis dieser europäischen Kaufoption beträgt demnach etwa 3,75 EUR. Dieses Ergebnis hilft einem Händler zu beurteilen, ob der aktuelle Marktpreis der Option über oder unter diesem Wert liegt.

Practical Applications

Optionspreismodelle sind in der modernen Finanzwelt weit verbreitet und finden Anwendung in verschiedenen Bereichen:

Optionshandel und -bewertung: Sie liefern den Referenzpunkt für den beizulegenden Zeitwert von Optionen, was Händlern hilft, Kauf- oder Verkaufsentscheidungen zu treffen. Die Cboe veröffentlicht beispielsweise täglich detaillierte Marktstatistiken für den US-Optionsmarkt, die die Preisbildung und das Handelsvolumen widerspiegeln.
Hedging: Unternehmen und Investoren nutzen Optionspreismod³elle, um die Kosten für Hedging-Strategien zu kalkulieren und das optimale Verhältnis von Optionen zu Basiswerten zu bestimmen, um Risiken abzusichern.
Risikomanagement: Modelle helfen Finanzinstituten, das Risiko ihrer Optionsportfolios zu bewerten, indem sie die Sensitivität gegenüber Änderungen in Marktvariablen messen.
Strukturierte Finanzprodukte: Bei der Gestaltung und Bewertung komplexer strukturierter Produkte, die Optionen enthalten, sind Optionspreismodelle unerlässlich.
Bilanzierung und Rechnungslegung: Für Zwecke der Rechnungslegung müssen Derivate fair bewertet werden, wofür häufig Optionspreismodelle herangezogen werden.
Regulierung: Aufsichtsbehörden können Optionspreismodelle nutzen, um die Angemessenheit der Bewertung von Derivaten bei beaufsichtigten Instituten zu überprüfen.

Limitations and Criticisms

Obwohl Optionspreismodelle wie das Black-Scholes-Merton-Modell revolutionär waren, sind sie nicht ohne Einschränkungen und Kritikpunkte. Die Modelle basieren auf einer Reihe von Annahmen, die in der Realität oft nicht vollständig zutreffen:

Konstante Volatilität: Die Annahme einer konstanten Volatilität ist eine der größten Schwächen, da die Volatilität in realen Märkten ständig schwankt. Marktbeobachtungen zeigen, dass die implizite Volatilität von Optionen mit unterschiedlichen Ausübungspreisen und Laufzeiten variiert (das Phänomen der "Volatilitäts-Smile" und "Volatilitäts-Skew").
Keine Transaktionskosten: Das Modell ignoriert Transaktionskosten wie Gebühren und Spread²s, die im realen Handel anfallen und die Profitabilität beeinflussen können.
Lognormal verteilte Preise: Die Annahme, dass die Preise des Basiswerts einer logarithmischen Normalverteilung folgen, impliziert, dass extrem große Preisbewegungen seltener sind, als sie in der Praxis beobachtet werden (sogenannte "fette Enden" in den Verteilungen).
Keine Dividendenzahlungen: Das ursprüngliche Black-Scholes-Modell geht davon aus, dass der Basiswert während der Laufzeit der Option keine Dividende zahlt. Obwohl Erweiterungen dieses Problem adressieren, ist es eine ursprüngliche Einschränkung.
Europäische Ausübung: Das Black-Scholes-Modell ist ausschließlich für europäische Optionen konzipiert, die nur am Verfallsdatum ausgeübt werden können. Für amerikanische Optionen, die jederzeit vor dem Verfallsdatum ausgeübt werden können, sind andere Modelle wie das Binomialmodell besser geeignet.
Risikoneutralität: Die Annahme der Risikoneutralität ist ein theoretisches Konstrukt und stimmt nicht mit dem beobachteten Verhalten risikoscheuer Investoren überein.

Ein prominentes Beispiel für die Grenzen von Optionspreismodellen in extremen Marktsituationen ist der Beinahe-Zusammenbruch des Hedgefonds Long-Term Capital Management (LTCM) im Jahr 1998. Der Fonds, dessen Management Nobelpreisträger umfasste, verließ sich stark auf mathematische Modelle zur Identifizierung von Arbitrage-Möglichkeiten. Als jedoch die russische Staatsanleihenkrise unerwartete und extreme Marktbedingungen schuf, versagten die Modelle bei der Risikobewertung, was zu massiven Verlusten und einer Rettungsaktion durch die Federal Reserve Bank of New York führte, um eine systemische Finanzkrise abzuwenden. Dies unterstreicht, dass Modelle Hilfsmittel sind und menschliches Urteilsvermögen im Risikomanagement unverzichtbar bleibt.

Optionspreismodell vs. Implizite Volatilität

Das Optionspreismodell und die Implizite Volatilität sind eng miteinander verbunden, aber nicht dasselbe. Ein Optionspreismodell ist das mathematische Rahmenwerk, das einen theoretischen Optionspreis auf der Grundlage von sechs Eingabeparametern (Preis des Basiswerts, Ausübungspreis, Restlaufzeit, risikofreier Zinssatz, Dividende und Volatilität) liefert. Die Implizite Volatilität hingegen ist keine direkte Eingabe, sondern das Ergebnis einer Umkehrung des Optionspreismodells. Sie ist diejenige Volatilität, die, wenn sie in das Optionspreismodell eingesetzt wird, den aktuell am Markt beobachteten Optionspreis ergibt. Während das Modell einen Preis berechnet, wenn die Volatilität bekannt ist, leitet die implizite Volatilität die Volatilität ab, die der Markt in einem Optionspreis widerspiegelt. Die implizite Volatilität ist daher ein Indikator für die Erwartungen des Marktes hinsichtlich zukünftiger Preisschwankungen des Basiswerts.

FAQs

Was ist der Hauptzweck eines Optionspreismodells?
Der Hauptzweck eines Optionspreismodells ist die Schätzung des beizulegenden Zeitwerts einer Option auf der Grundlage verschiedener Variablen, um Anlegern zu helfen, fundierte Handels- und Investitionsentscheidungen zu treffen.

Welche Faktoren beeinflussen den Optionspreis in einem Modell?
Die wichtigsten Faktoren, die den Optionspreis in einem Modell beeinflussen, sind der aktuelle Preis des Basiswerts, der Ausübungspreis, die verbleibende Restlaufzeit bis zum Verfall, die erwartete Volatilität des Basiswerts, der risikofreie Zinssatz und alle erwarteten Dividenden des Basiswerts.

Ist das Black-Scholes-Merton-Modell immer genau?
Nein, das Black-Scholes-Merton-Modell ist nicht immer genau. Es basiert auf bestimmten Annahmen, die in der realen Welt oft nicht zutreffen, wie z.B. konstante Volatilität und keine Transaktionskosten. In volatilen Märkten oder bei komplexen Optionen können seine Vorhersagen von den tatsächlichen Marktpreisen abweichen.

Wofür wird ein Optionspreismodell im Optionshandel verwendet?
Im Optionshandel wird ein Optionspreismodell verwendet, um zu beurteilen, ob eine Option über- oder unterbewertet ist, um Hedging-Strategien zu entwickeln und um das Risiko von Optionspositionen zu managen.

Gibt es Alternativen zum Black-Scholes-Merton-Modell?
Ja, es gibt Alternativen wie das Binomialmodell, das sich besonders gut für amerikanische Optionen eignet, und die Monte-Carlo-Simulation, die flexibler bei der Modellierung komplexer Szenarien ist.