Poisson verteilung

Was ist die Poisson-Verteilung?

Die Poisson-Verteilung ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung, die die Wahrscheinlichkeit angibt, dass eine bestimmte Anzahl von Ereignisse innerhalb eines festen Zeitraums oder Raums auftritt, wenn diese Ereignisse mit einer bekannten konstanten mittleren Rate und unabhängig von der Zeit seit dem letzten Ereignis eintreten. Sie ist ein grundlegendes Konzept der Wahrscheinlichkeitstheorie und der statistische Modellierung, insbesondere im Bereich der diskrete Verteilung von Zufallsvariable. Die Poisson-Verteilung ist besonders nützlich für die Modellierung seltener Ereignisse.

Geschichte und Ursprung

Die Poisson-Verteilung ist nach dem französischen Mathematiker Siméon Denis Poisson (1781–1840) benannt. Poisson führte diese Verteilung in seinem Werk "Recherches sur la probabilité des jugements en matières criminelles et matière civile" (Forschungen über die Wahrscheinlichkeit von Urteilen in Straf- und Zivilsachen) ein, das 1837 veröffentlicht wurde. Ursprünglich⁹ entwickelte er sie, um die Anzahl der falschen Verurteilungen in einem Justizsystem zu modellieren, was die Anwendung dieser Verteilung auf seltene Ereignisse verdeutlichte. Poisson war ein produktiver Wissenschaftler, dessen Arbeiten viele Bereiche der Mathematik und Physik umfassten, einschließlich seiner Beiträge zur Elektrizität und Mechanik.

Wichtige Erkenntnisse

• Die Poisson-Verteilung modelliert die Wahrscheinlichkeit einer bestimmten Anzahl von Ereignissen in einem festen Intervall.
• Sie wird angewendet, wenn Ereignisse unabhängig voneinander und mit einer konstanten durchschnittlichen Rate auftreten.
• Die Verteilung ist eine diskrete Verteilung, was bedeutet, dass sie nur ganze Zahlen als Ergebnisse liefert (z. B. 0, 1, 2, ... Ereignisse).
• Der einzige Parameter der Poisson-Verteilung ist Lambda ((\lambda)), der sowohl dem Erwartungswert als auch der Varianz der Verteilung entspricht.

Formel und Berechnung

Die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion der Poisson-Verteilung, die die Wahrscheinlichkeit angibt, dass genau (k) Ereignisse in einem Intervall auftreten, ist gegeben durch:

$P(X=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$

Dabei gilt:

• (P(X=k)): Die Wahrscheinlichkeit, dass genau (k) Ereignisse auftreten.
• (k): Die Anzahl der Ereignisse ((k = 0, 1, 2, ...)).
• (\lambda): Der Durchschnitt der Ereignisse pro Intervall (der Erwartungswert). Es muss (\lambda > 0) sein.
• (e): Die Eulersche Zahl (ungefähr 2.71828).
• (k!): Die Fakultät von (k).

Die Varianz der Poisson-Verteilung ist ebenfalls (\lambda).

Interpretation der Poisson-Verteilung

Die Poisson-Verteilung hilft zu verstehen, wie oft ein bestimmtes Ereignisse in einem festgelegten Zeitraum oder Raum auftreten kann, wenn die Ereignisse zufällig und unabhängig voneinander eintreten. Ein höherer Wert von (\lambda) bedeutet eine höhere durchschnittliche Häufigkeit der Ereignisse. Umgekehrt deutet ein niedrigerer (\lambda)-Wert auf seltenere Ereignisse hin.

Die Form der Poisson-Verteilung ändert sich mit dem Wert von (\lambda). Bei kleinen (\lambda)-Werten ist die Verteilung stark nach rechts geneigt (rechtsschief), da die Wahrscheinlichkeit von null oder wenigen Ereignissen am höchsten ist. Mit zunehmendem (\lambda) wird die Verteilung symmetrischer und nähert sich einer Normalverteilung an. Dies ist wichtig für die Datenanalyse, um die zugrunde liegende Wahrscheinlichkeit von Zähldaten zu interpretieren.

Hypothetisches Beispiel

Angenommen, eine Bank erhält im Durchschnitt 5 Anfragen wegen betrügerischer Transaktionen pro Tag. Wir können die Poisson-Verteilung verwenden, um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass die Bank an einem bestimmten Tag genau 3 Anfragen erhält.

In diesem Fall ist (\lambda = 5) (durchschnittliche Anzahl der Anfragen pro Tag) und (k = 3) (gewünschte Anzahl der Anfragen).

Unter Verwendung der Formel:
$P(X=3) = \frac{5^3 e^{-5}}{3!}$
$P(X=3) = \frac{125 \times 0.006738}{6}$
$P(X=3) \approx \frac{0.84225}{6} \approx 0.1404$

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Bank an einem bestimmten Tag genau 3 Anfragen wegen betrügerischer Transaktionen erhält, beträgt also etwa 14,04 %. Dieses Beispiel zeigt, wie die Poisson-Verteilung zur Vorhersage der Häufigkeit von Ereignissen verwendet werden kann, was für das Risikomanagement und die Ressourcenplanung nützlich ist.

Praktische Anwendungen

Die Poisson-Verteilung findet in verschiedenen Bereichen Anwendung, insbesondere dort, wo es um die Zählung von Ereignissen über feste Intervalle geht.

• Finanzmodellierung: Im Finanzwesen kann die Poisson-Verteilung zur Modellierung der Anzahl von Kreditausfällen in einem Kreditportfolio, der Ankunft von Kauf- oder Verkaufsaufträgen an den Börsen oder der Häufigkeit von Markt"schocks" über einen bestimmten Zeitraum hinweg eingesetzt werden., Diese Anwendungen sind entscheidend für das [F⁸i⁷nanzmodellierung](https://diversification.com/term/finanzmodellierung) und die Bewertung des Risikomanagement.
• Versicherungswesen: Versicherungsunternehmen nutzen sie, um die Anzahl der Schadensfälle zu prognostizieren, die innerhalb eines bestimmten Zeitraums für eine bestimmte Art von Versicherungspolice eingehen. Dies hilft bei der Festlegung von Prämien und der Rückstellungsbildung.,
• Qualitätskontrolle: In der Fertigung kann d⁶ie Poisson-Verteilung die Anzahl der Mängel pro Produkteinheit oder pro Fertigungslinie schätzen, um die Qualitätskontrolle zu verbessern.
• Warteschlangentheorie: Sie wird in der Warteschlangentheorie verwendet, um die Ankunftsrate von Kunden in einem Callcenter oder an einer Servicestelle zu modellieren, um die Personalausstattung und Effizienz zu optimieren.
• Netzwerktechnik: Technologieunternehmen können s⁵ie nutzen, um die Anzahl der Netzwerkausfälle pro Woche zu modellieren.

Einschränkungen und Kritikpunkte

Obwohl die Poisson-V⁴erteilung ein leistungsfähiges Werkzeug ist, weist sie wichtige Einschränkungen auf, die bei der Anwendung berücksichtigt werden müssen:

• Annahme der Unabhängigkeit: Die Verteilung setzt voraus, dass die Ereignisse unabhängig voneinander auftreten. Das bedeutet, dass das Eintreten eines Ereignisses die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines anderen Ereignisses nicht beeinflusst. In der Realität können jedoch Ereignisse miteinander korreliert sein (z. B. eine Marktpanik, die zu mehreren Ausfällen führt).
• Konstante Rate (Homogenität): Die Poisson-Verteilung geht dav³on aus, dass die durchschnittliche Rate, mit der Ereignisse auftreten ((\lambda)), über das gesamte Intervall konstant ist. Wenn die Rate der Ereignisse im Laufe der Zeit schwankt (z. B. höhere Kundenfrequenz zu Stoßzeiten), ist die Poisson-Verteilung möglicherweise kein geeignetes Modell.
• Gleichheit von Mittelwert und Varianz: Eine zentrale Annahme der Poisson-Verteilung ist, dass der Erwartungswert (Mittelwert) der Anzahl der Ereignisse gleich ihrer Varianz ist ((\lambda)). In vielen realen Datensätzen ist die Varianz jedoch größer als der Mittelwert, ein Phänomen, das als Überdispersion bekannt ist., Bei Überdispersion kann die Verwendung der Poisson-Verteilung zu einer Untersc²h¹ätzung der Variabilität oder zu ungenauen Vorhersagen führen. In solchen Fällen sind alternative Modelle wie die negative Binomialverteilung oft besser geeignet.
• Diskrete Ergebnisse: Die Poisson-Verteilung ist ausschließlich für diskrete Ergebnisse konzipiert (ganze Zahlen, die Ereigniszählungen darstellen). Sie ist nicht anwendbar, wenn die zu modellierenden Daten kontinuierlich sind oder Bruchwerte annehmen können.

Poisson-Verteilung vs. Binomialverteilung

Die Poisson-Verteilung und die Binomialverteilung sind beides diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen, die zur Modellierung von Ereigniszählungen verwendet werden, aber sie unterscheiden sich in ihren Annahmen und Anwendungsbereichen.

Die Poisson-Verteilung kann als eine Näherung der Binomialverteilung angesehen werden, wenn die Anzahl der Versuche ((n)) sehr groß ist und die Erfolgswahrscheinlichkeit ((p)) sehr klein ist, während das Produkt (n \cdot p) (welches (\lambda) entspricht) endlich bleibt. Dies ist oft der Fall bei der Modellierung seltener Ereignisse über viele Gelegenheiten hinweg.

FAQs

1. Wann sollte ich die Poisson-Verteilung verwenden?

Sie sollten die Poisson-Verteilung verwenden, wenn Sie die Anzahl der Ereignisse modellieren möchten, die in einem festen Zeit- oder Raumintervall auftreten, vorausgesetzt, diese Ereignisse sind selten, unabhängig und treten mit einer konstanten durchschnittlichen Rate auf. Beispiele sind die Anzahl der Anrufe in einem Callcenter pro Stunde oder die Anzahl der Fehler pro Seite in einem Buch.

2. Was ist der Unterschied zwischen diskreten und kontinuierlichen Verteilungen?

Eine diskrete Verteilung (wie die Poisson-Verteilung) beschreibt Variablen, die nur bestimmte, zählbare Werte annehmen können (z. B. 0, 1, 2, 3 Anrufe). Eine kontinuierliche Verteilung (wie die Normalverteilung) beschreibt Variablen, die jeden Wert innerhalb eines bestimmten Bereichs annehmen können (z. B. die Höhe eines Menschen oder die Temperatur).

3. Was ist Lambda ((\lambda)) in der Poisson-Verteilung?

Lambda ((\lambda)) ist der Schlüsselparameter der Poisson-Verteilung. Er repräsentiert die durchschnittliche Anzahl der Ereignisse, die in einem bestimmten Intervall auftreten. Für die Poisson-Verteilung ist (\lambda) sowohl der Erwartungswert als auch die Varianz der Verteilung.

4. Kann die Poisson-Verteilung für Prognosen in der Finanzwelt verwendet werden?

Ja, die Poisson-Verteilung kann in der Finanzmodellierung verwendet werden, um die Wahrscheinlichkeit seltener Ereignisse wie Kreditausfälle, Marktschocks oder die Anzahl der Handelsgeschäfte zu prognostizieren. Es ist jedoch wichtig, ihre Annahmen und Einschränkungen zu berücksichtigen, insbesondere die Annahme der Unabhängigkeit und der konstanten Rate.